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导数应用专题之含参函数的单调性讨论

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精品文档---下载后可任意编辑导数应用专题之含参函数的单调性讨论对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论,若有多个讨论点时,要注意讨论层次与顺序,一般先根据参数对导函数类型进行分类,从简单到复杂。一、经典例题例 1、已知函数,讨论函数的单调性.分析:讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增,在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定的解区间;确定函数的减区间就是确定的解区间;讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。解: 因为, 所以 (1) 当时,,当时,;当时,;所以函数在上单调递增,在上单调递减;(2) 当时,的图像开口向上,I) 当时,,所以函数在 R 上递增;II) 当时,方程的两个根分别为 且 所以函数在,上单调递增, 在上单调递减;(3) 当时,的图像开口向下,且 方程的两个根分别为且 所以函数在,上单调递减, 在上单调递增。综上所述,精品文档---下载后可任意编辑当时,所以函数在上单调递增, 在,上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减;当,所以函数在,上单调递增, 在上单调递减;当,函数在 R 上递增;小结: 导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论(先讨论其为 0 情形),然后讨论判别式(先讨论判别式为负或为 0 的情形,对应导函数只有一种符号,原函数在定义域上为单调的),判别式为正的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论),最后根据导函数正负确定原函数相应单调性,记得写出综述结论。例 2.(2024 山东理数改编) 已知函数.讨论的单调性;解:因为的定义域为所以 ,令 ,则同号法一:根据熟知二次函数性质可知 g(x)的正负符号与开口有关,因此可先分类型讨论: ① 当时,由于<1,开口向下,结合其图象易知精品文档---下载后可任意编辑 ,,此时,函数 单调递减;时,,此时,函数单调递增.② 当时, 开口向上,但是否在定义域需要讨论:因所以i) 当时,由于<1,开口向上,结合其图象易知 ,,此时,函数单调递增.时,,此时,函数 单调递减; ii)当时,g(x)开口向上且,但两根大小需要讨论: a) 当时,恒成立,此时,函数 在上单调递减; b) 当,g(x)开口向上且在(0,)有两根 时,,此时,函数单调递减; 时,此时,函数 单调递增; 时,,此时,函数单调递减; c) 当时,,g(x)开口向上且在(0,)有两根 时,,此时,函数单调递减; 时,此时,函数 单调递...

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