2025年初中数学因式分解含答案竞赛题演示教学

初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选初中数学因式分解(二) 1．双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可以看作是有关 x 的二次三项式． 对于常数项而言，它是有关 y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 再运用十字相乘法对有关 x 的二次三项式分解 因此，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 上述因式分解的过程，实行了两次十字相乘法．假如把这两个环节中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表达的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 双十字相乘法因式分解的环节是： (1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一种十字相乘图(有两列)； (2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，规定第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx． 例 1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； 2．求根法 形如 anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为有关 x 的一元多项式，并用 f(x)，g(x)，…等记号表达，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 当 x=a 时，多项式 f(x)的值用 f(a)表达．如对上面的多项式 f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12． 若 f(a)=0，则称 a 为多项式 f(x)的一种根． 定理 1(因式定理) 若 a 是一元多项式 f(x)的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x)有一种因式 x-a． 根据因式定理，找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求多项式 f(x)的根．对于任意多项式 f(x)，规定出它的根是没有一般措施的，然而当多项式 f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常常用下面的定理来判定它与否有有理根． 定理 2 的根，则必有 p 是 a0的约数，q 是 an的约数．尤其地，当 a0=1 时，整系数多项式 f(x)的整数根均为 an的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 例 2 分解因式：x3-4x2+6x-4． 例 3 分解因式：...