抽象函数的性质及其金典例题 函数的周期性: 1、定义在x∈R 上的函数y=f(x),满足 f(x+a)=f(x-a)(或 f(x-2a)=f(x))(a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数; 2、若 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数; 3、若 y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数; 4、若 y=f(x) 的图像有一个对称中心 A(a,0)和一条对称轴 x=b(a≠b),则函数y=f(x)是周期为 4|a-b|的周期函数; 5、若函数y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),其中 a>0,且如果 y=f(x)为奇函数,则其周期为 4a;如果 y=f(x)为偶函数,则其周期为 2a; 6、定义在x∈R 上的函数y=f(x),满足 f(x+a)=-f(x)1( )f xaf x或1( )f xaf x 或,则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数; 7、若 11f xf xaf x在x∈R 恒成立,其中 a>0,则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数; 8、若 11f xf xaf x在x∈R 恒成立,其中 a>0,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数。 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线2abx对称; 2、若函数y=f(x)满足 f(x)=f(2a-x)或 f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; 3、若函数y=f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c,则 y=f(x)的图像关于点,22ab c成中心对称图形; 4、曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0; 5、形如0 ,axbycadbccxd的图像是双曲线,由常数分离法 dadada xbbacccyddcc xc xcc知:对称中心是点,d ac c; 6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则 y=f(x+a)与 y=f(b-x)的图像关于直线2bax对称; 7、若函数y=f(x)有反函数,则 y=f(a+x)和 y=f -1(x+a)的图像关于直线 y=x+a 对称。 含有函数记号“( )f x”有关问题解法 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号( )f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量表示原自变量x 的...