抽象函数的性质及其经典例题

抽象函数的性质及其金典例题 函数的周期性： 1、定义在x∈R 上的函数y=f(x)，满足 f(x+a)=f(x-a)（或 f(x-2a)=f(x)）(a>0)恒成立，则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数； 2、若 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数； 3、若 y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为 2|a-b|的周期函数； 4、若 y=f(x) 的图像有一个对称中心 A(a,0)和一条对称轴 x=b（a≠b），则函数y=f(x)是周期为 4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)，其中 a>0，且如果 y=f(x)为奇函数，则其周期为 4a；如果 y=f(x)为偶函数，则其周期为 2a； 6、定义在x∈R 上的函数y=f(x)，满足 f(x+a)=-f(x)1( )f xaf x或1( )f xaf x 或，则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数； 7、若   11f xf xaf x在x∈R 恒成立，其中 a>0，则 y=f(x)是周期为 4a 的周期函数； 8、若   11f xf xaf x在x∈R 恒成立，其中 a>0，则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数。 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2abx对称； 2、若函数y=f(x)满足 f(x)=f(2a-x)或 f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c，则 y=f(x)的图像关于点,22ab c成中心对称图形； 4、曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如0 ,axbycadbccxd的图像是双曲线，由常数分离法 dadada xbbacccyddcc xc xcc知：对称中心是点,d ac c； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则 y=f(x+a)与 y=f(b-x)的图像关于直线2bax对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则 y=f(a+x)和 y=f -1(x+a)的图像关于直线 y=x+a 对称。 含有函数记号“( )f x”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的...