牛顿几何三大定理及证明

精品文档---下载后可任意编辑牛顿三大定理牛顿定理 1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。证明：四边形 ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD 中点 M,AC 中点 L,EF 中点 N。取 BE 中点P,BC 中点 R,PN∩CE=Q R,L,Q 共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P 共线。RM/MP=CD/DE，N,P,Q 共线，PN/NQ=BF/FC三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC由梅涅劳斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N 三点共线故牛顿定理 1 成立牛顿定理 2 圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。证明：设四边形 ABCD 是⊙I 的外切四边形，E 和 F 分别是它的对角线 AC 和 BD 的中点，连接 EI 只需证它过点 F，即只需证△BEI 与△DEI 面积相等。 显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而 S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式精品文档---下载后可任意编辑子 ， 由ABCD外 切 于 ⊙ I ， AB+CD=AD+BC ， S△BIC+S△AID=1/2*S四 边 形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得 S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由 E 是 AC 中点，S△CEI=S△AEI，故 S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即 S△BEI=△DEI，而F 是 BD 中点，由共边比例定理 EI 过点 F 即 EF 过点 I，故结论成立。证毕。牛顿定理 3 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证明 设四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点 E,F,G,H. 首先证明,直线AC,EG,FH 交于一点.设 EG,FH 分别交 AC 于点 I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI ’因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故 AI'/CI'=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG 又 AE=AH,CF=CG.故 AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而 I,I'重合.即直线 AC,EG,FH 交于一点.同理可证:直线 BD,EG,FH 交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH 交于一点.