极坐标的概念

（一）极坐标概念 确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。 1.1 极坐标系定义 在平面上选一定点O，由O 出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O 为极点，射线OX 为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。 1.2 平面内的点与极坐标系的关系 平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P 点的极径；OX 到 OP 的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。 (1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应； (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。 ①P 点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标； ②P 点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0 时，极角的始边为OX 轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX 轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0 时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。 ∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。 例 1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与 Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ） A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线（ρ∈R）对称 分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。 例2 .在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，，那么C 的坐标可能是（ ） A. B. C. D.（3，π） 分析： ,极径相同，极角相差π，A、B 以极点对称，又|AB|=4，△ABC 为等边△，，，C 对应极角为. ∴或 故选B 。 例3.A、B 两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则 |AB|=______________________________。 分析：用余弦定理可得此结论可作为公式。 1.3 极坐标与直角坐标的互化 取极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y) 则 ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限) 此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。 例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。 (1) (2) (3) (4)ρ2=2cos2θ...