林常数学竞赛组合讲义

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2025-03-05 发布于天津市
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组合优化与组合构造讲义林常 §1 .概述一.组合数学题型 1 .计数 2 .存在性 3 .构造 4 .最值二.主要方法 1 .递推与归纳. (1).I 型归纳法.定跨度:起点个数等于跨度.不定跨度:起点个数等于 1. 递推关系的阶数与初始条件. (2).II 型归纳法(最小数原理).设 P(n)是关于正整数的命题.若由 P(n)不成立可推出存在正整数 n′1 可推出 P(n－1)成立.则 P(n)对一切正整数成立. (4).乘积归纳法.若 P(n)对全体素数成立,且由 P(m)及 P(n)成立可推出 P(mn)成立.则 P(n)对一切大于 1 的正整数成立. 若 P(n)对全体素数幂成立,且由 P(m),P(n)成立及(m,n)=1 可推出 P(mn)成立.则 P(n)对一切大于 1 的正整数成立. 2 .调整法(向较优目标逼近). 设φ : S→R 有最大(小)值(例如,当φ(S)为有限集或φ 在紧集S 上连续时).若S的子集A 满足:对任一x∈S\A,都有x′∈S 使得 φ(x′)>(<) φ(x).则 φ 的最大(小)值点在A 中. 3.化归(类比,对应) 常用的化归模型:赋值(代数化),填表(二元关系),画图(几何,图论),剩余类(整除关系),不定方程解数.棋盘路线.Veen 图. 数量关系:设φ : A→B, A,B 为有限集.则当φ 为单射,满射,双射时分别有 |A|≤|B|, |A|≥|B|, |A|=|B|. 4.算两次(Fu bin i 原理) 从不同角度计算(估计)特征量的和数或特征形的个数. 累次求和式的换序.由求和区域的边界定上下限. §2 .组合优化(最值) 一.优化方法(无表达式函数的最值) 1 .界的估计(对适当的特征量作合理的放缩)与实现(构造),或根据美学观点猜测最优对象再证明相应的不等式. 2 .调整法.在定义集内(保持约束条件)向较优方向(平均,极端,排序)逼近.离散最值(函数型,排序型)的基本手段. 3 .递推法二.例题选讲 1.设 a1, a2, ... , a10 是 10 个两两不同的正整数,它们的和为 1995，试求 a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1 的最小值。解.先取定正整数 x1>x2>… >x10,将它们沿圆周顺时针排成 a1,… ,a10 使 S=1011i iia a+=∑(a11=a1).最小.不妨设 a1=x1,a2

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