梁的弯曲应力

- 1 - - 1 - 第8 章 梁的弯曲应力 梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。并简要介绍一点的应力状态和强度理论。 8.1 梁的弯曲正应力 平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图 8.1 所示梁的AC、DB 段。而在CD 段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。 8 .1 .1 弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线 mm 和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab 和cd，如图8.2(a)所示。然后按图 8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。从试验中可以观察到图8 .2(b)情况： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。 （2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。 （3）在纵线伸长区，梁的宽度减小 ，而在纵线缩短区，梁的宽度则 增 加，情况与轴向 拉 、压时的变形相似 。 根 据 上述 现象，对梁内变形与受 力作如下假设 ：变形后，横截面仍保 持 平面，且仍与纵线正交；同 时，梁内各 纵向 纤 维 仅 承 受 轴向 拉 应力或压 应力。前 者 称为弯曲平面假 设 ；后者 称为单 向 受 力假 设 。 - 2 - - 2 - 根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。 根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。中性层与横截面的交线称为中性轴。对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。 综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。 从梁中截取一微段dx，取梁横截面的对称轴为y ...