2025年七年级数学培优经验归纳法VIP专享

（13）经验归纳法【知识精读】1．一般咱们把“从特殊到一般”推理措施、研究问题措施叫做归纳法。通过有限几种特例，观测其一般规律，得出结论，它是一种不完全归纳法，也叫做经验归纳法。例如① 由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……，归纳出 － 1 奇次幂是－ 1，而－ 1 偶次幂 是 1 。② 由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 × 10 ），三位数从 100 到 999 共 900 个（9×102），四位数有 9×103＝9000 个（9×103），…………归纳出 n 位数共有 9×10n-1 (个)③ 由 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……推断出从 1 开始 n 个連续奇数和等于 n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识重要手段，是知识攀缘前进阶梯。2. 经验归纳法是通过少数特例试验，发现规律，猜测结论，要使规律明朗化，必要进行足夠次数试验。由于观测产生片面性，所猜测结论，有也许是错误，因此必然或否认猜测结论，都必要进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】例1平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几种交点？解：两条直线只有一种交点， 1 2第 3 条直线和前两条直线都相交，增长了 2 个交点，得 1＋2 3 第 4 条直线和前 3 条直线都相交，增长了 3 个交点，得 1＋2＋3 第 5 条直线和前 4 条直线都相交，增长了 4 个交点，得 1＋2＋3＋4………第 n 条直线和前 n－1 条直线都相交，增长了 n－1 个交点由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点 1＋2＋3＋……n－1（个），这里 n≥2，其和可体现为［1+（n+1）］×, 即个交点。例 2．符号 n！体现正整数从 1 到 n 連乘积，读作 n 阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较 3n与（n+1）！大小（n 是正整数）解：当 n ＝1 时，3n＝3, （n＋1）！＝1×2＝2当 n ＝2 时，3n＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6当 n ＝3 时，3n＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24当 n ＝4 时，3n＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120当 n ＝5 时，3n＝243, （n＋1）！＝6！＝720 …… 猜测其结论是：当 n＝1，2，3 时，3n＞（n＋1）！，当 n>3 时 3n＜（n＋1）！。例 3 求适合等式 x1+x2+x3＋…+x=x1x2x3…x 正整数解。 分析：这个正整数和恰好与它们积相等，要确定每一种正整数值，咱们采用经验归纳法从 2 个，3 个，4 个……直到发现规律为止。...