求向量组的秩与极大无关组(修改整理)向量组的极大无关组与秩

1 / 6 求向量组的秩与最大无关组 一、 对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B 中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】 求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A 化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A：1, 2,…, n ①设 1 0，则 1线性相关，保留 1 ②加入 2，若 2与 1线性相关，去掉 2；若 2与 1线性无关，保留 1 ，2； ③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组 2 / 6 【例2】求向量组：1231 ,2 , 12 , 3 ,14 ,1 , 1,,,TTT的最大无关组 解：因为a1非零，故保留a1 取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2 取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2 ，a3线性相关。 所以最大无关组为a1，a2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：1=(1,2,3)T, 2=(-1,2,0)T, 3=(1,6,6)T 由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组． 【例3】求向量组 ：1=(2,1,3,-1)T, 2=(3,-1,2,0)T, 3=(1,3,4,-2)T, 4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 解 以1,2,3,4为列构造矩阵A, 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： 123423141-13-3113305-51 0,,,324105-51 010210-11-2A   ---...