不同设直线b 的夹角 0 由向量 AC,BD 确定，满足 cos0=I AC - BD I IACI・丨 BD空间向量在立体几何中的应用一：两直线的夹角：1•当两条直线 1 与 1 共面时，我们把两条直线交角中，范围在「0,少］内的角叫12L2_作两直线的夹角.当直线 1 与 1 是异面直线时，在直线 1 上任取一点 A 作 AB〃1,1212我们把直线 1 和直线 AB 的夹角叫作异面直线 1 与 1的夹角.112异面直线的夹角的范围是 f0,厂・<2-2.直线夹角的向量计算方法：已知空间两条直线 a，b，且 A，C 是直线 a上不同的两点，B，D 是直线 b 上要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.例 1.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面二二是矩形，■-•丄底面肪二.三是■二的中点,已知求异面直线二与二所成的角的大小.【变式 2】如图，直三棱柱 ABC-ABC 中，AA=AB=2，AC=BC,D 为 BBliii1的中点，若异面直线 AB 与 CD 的夹角为二:，求 AC 的长.1要点二：平面间的夹1. 平面间的夹角的定义：平面兀与兀相交于直线 l，12点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R,在平面兀上作直线 l丄11l，在平面兀上作直线 l 丄 l,则/“I=R。我们把直线2212l 和 l 的夹角叫做平面兀与兀的夹角.1212设平面兀与兀的法向量分别为 n 和 n，平面兀与兀的夹角为 0,则121212cos0=|cosfn，n'：|=賀 J.两平面的夹角范围是12川|n」|叮3.“平面间的夹角”不同于“二面c 兀0,(1)二面角的有关概念半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.如图，可记作二面角 a-a-p 或 a-AB-p-(2)区别:平面间的夹角二面角构成面-线-面半平面线半平面范围c 兀0,_2[o,兀]表示法语言叙述语言叙述或符号表示⑵ 求平面二二与平面三二的夹角的大4B例 2.如图，在五面体 ABCDEF 中,FA 丄平面 ABCD,AD〃BC〃FE，AB 丄 AD，1AF=AB=BC=FE=AD，求平面 ACD 和平面 CDE 的夹角的余弦值.2变式：如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 丄底面ABCD，PD=DC，点 E 是 PC 的中点，作 EF 丄 PB 交 PB 于点 F.⑴ 求证：PB 丄平面 EFD；D5673习题 1：如图，在 AABC 中，ZABC60,ABAC 二 90。,AD 是 BC 上的高，沿 AD 把△ABD 折起，使 ZBDC=9Oo.设 E 为 BC 的中点，求 AE习题 2：如图，直三棱柱 ABC-ABC 中,AB 丄 AC,D、E 分别为 AA、BC 的中点，DE 丄11111平面 BCC，若平面 ABD 和平面 BCD 为 60°,求 BC 与平面 BCD 的夹角的大小.11与 DB 夹角的余弦
