一、多元函数的微分学二元函数的定义 设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应,那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数。 记作：z=f（x,y）. 其中 x 与 y 称为自变量，函数 z 也叫做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域。 有关二元函数的定义域的问题 我们懂得一元函数的定义域一般来说是一种或几种区间。二元函数的定义域一般是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为开域。 假如一种区域 D（开域或闭域）中任意两点之间的距离都不超过某一常数 M,则称 D 为有界区域；否则称 D 为无界区域.常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示： 例题：求的定义域。 解答：该函数的定义域为：x≥，y≥0.二元函数的几何表达 把自变量 x、y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy 平面内作出函数 z=f(x,y）的定义域 D；再过 D 域中得任一点 M（x，y）作垂直于 xOy 平面的有向线段 MP，使其值为与（x,y）对应的函数值 z； 当 M 点在 D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 z=f(x,y）的几何图形.它一般是一张曲面, 其定义域 D 就是此曲面在 xOy 平面上的投影。二元函数的极限及其持续性 在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数 z=f（x,y）我们同样可以学习当自变量 x 与 y 趋向于有限值 ξ 与 η 时，函数 z 的变化状态. 在平面 xOy 上，(x，y)趋向(ξ，η）的方式可以时多种多样的，因此二元函数的状况要比一元函数复杂得多。假如当点(x，y）以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y）总是趋向于一种确定的常数 A， 那末就称 A 是二元函数 f（x,y)当（x，y）→(ξ，η）时的极限. 这种极限一般称为二重极限。 下面我们用 ε—δ 语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义 假如定义于（ξ,η）的某一去心邻域的一种二元函数 f（x，y）跟一种确定的常数 A 有如下关系:对于任意给定的正数 ε，无论怎样小,对应的必有另一种正数 δ，但凡满足 的一切(x，y)都使不等式 成立, 那末常数 A 称为函数 f（x,y)当（x，y）→（ξ，η)时的二重极限。 正像一元函数的极限...
