2025年初中数学竞赛标准教程及练习三点共线VIP专享

初中数学竞赛精品原则教程及练习（36）三点共线一、内容提纲1.要证明 A，B，C 三点在同一直线上，常用措施有：① 连结 AB，BC 证明∠ABC 是平角 ②连结 AB，AC 证明 AB，AC 重叠 ③连结 AB，BC，AC 证明 AB＋BC＝AC ④连结并延长 AB 证明延长线通过点 C 2.证明三点共线常用定理有：①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行②通过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边二分之一④梯形中位线平行于两底并且等于两底和二分之一⑤两圆相切，切点在连心线上⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例 1.已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 P 是形内任一点，PM⊥AB，PN⊥CD求证：M，N，P 三点在同一直线上证明：过点 P 作 EF∥AB， AB∥CD，∴EF∥CD∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴ M，N，P 三点在同一直线上例 2.求证：平行四边形一组对边中点和两条对角线交点，三点在同一直线上 已知：平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 AD 和 BC 中点，O 是 AC 和 BD 交点求证：M，O，N 三点在同一直线上 证明一：连结 MO，NO MO，NO 分别是△DAB 和△CAB 中位线∴MO∥AB，NO∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴ M，O，N 三点在同一直线上证明二：连结 MO 并延长交 BC 于 N， MO 是△DAB 中位线 ∴MO∥AB 在△CAB 中 AO＝OC，ON，∥AB ∴BN，＝N，C，即 N，是 BC 中点 N 也是 BC 中点， ∴点 N，和点 N 重叠 ∴ M，O，N 三点在同一直线上 例 3.已知：梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90 ，M，N 分别是 AB 和 CD 中点，BC，AD 延长线相交于 P求证：M，N，P 三点在同一直线上 证明： ∠A＋∠B＝90 ， ∠APB＝Rt∠ 连结 PM，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC ∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B ∴PM 和 PN 重叠 ∴M，N，P 三点在同一直线上 例 4.在平面直角坐标系中，点 A 有关横轴对称点为 B，有关纵轴对称点是 C，求证 B 和 C是有关原点 O 对称点 Y 解：连结 OA，OB，OC A，B 有关 X 轴对称， C A ∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX 同理 OC＝OA，∠AOY＝∠COY ∴∠COY＋∠BOX＝90 O X ∴B，O，C 三点在同一直线上 OB＝OC ∴ B 和 C 是有...