2025年高等数学考研知识点总结

第八讲 多元函数微分学一、考试规定1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2. 理解二元函数的极限与持续性的概念，以及有界闭区域上持续函数的性质。3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，理解全微分存在的必要条件和充足条件，理解全微分形式的不变性。4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算措施。5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 6. 理解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7. 理解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，理解二元函数极值存在的充足条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会处理某些简单的应用问题二、 内容提要 1、 多元函数的概念：z=f(x,y), (x,y)D 2、 二元函数的极限定义、持续 3、 偏导数的定义、高阶偏导、全微分 z=f(x,y) = , = 若则 4、偏导持续可微 可导(偏导)持续 极限存在 5、 复合函数求导法则（1）多元与一元复合：设在 t 可微，在与 t 对应的点可微，则在 t 处可微，且 （2）多元与多元复合：设在点存在偏导数，在与对应的点可微，则在点存在偏导数，且 ， 6、 隐函数求导法则 规定掌握三种情形： 1）F(x,y,z)=0, 2）3）  7、 二元函数的二阶泰勒公式 设 z=f(x,y)在点的某个邻域内具有二阶持续偏导数，为此邻域内一点，则有 + 8、多元函数的极值 1) 定义 2) 也许极值点 3) 取极值的必要条件 4) 取极值的充足条件 设 , , 若, 则为 z=f(x,y)的一种极值点 9、条件极值 构造拉格朗日函数： 由 解得也许极值点，再由实际问题判断极值。 10、最值：区域内部或边界上达到三、经典题型与例题题型一、基本概念题（讨论偏导、持续、可微之间的关系） 例 1、 设，求例 2 考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质： ① 在点处持续， ② 在点处的两个偏导数持续， ③ 在点处可微， ④ 在点处的两个偏导数存在. 若用“”表达可由性质 P 推出性质 Q, 则有（A） ②③①. （B） ③②①.（C） ③④①. （D） ③①④. 例 3、 设1） 在（0，0）点，函数与否持续？与否偏导数存在？与否可微？一阶偏导数与否持续？2） 求题型二、求多元函数的偏导数和全微分本题型包括如下几种方面的问题1、初等函数的偏导数和全微分2、求抽象函数的复合函数的偏导数3、由...