源于名校，成就所托 1 相似三角形的判定 知识精要 判定三角形相似的方法有：预备定理，三个判定定理，斜边--直角边定理。其中使用频率最高的是“两角对应相等，两三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。 所有的判定方法只需证明两点：一是角相等，另一个是边成比例。证明“角相等”应特别注意：1）特殊角（如直角），2）特殊关系（如公共角，对顶角，等腰三角形的两底角，等角的余角，等角的补角等）。 根据图形的结构，可将判定三角形相似的方法概括为三种基本类型：共角共边型，嵌入型，旋转翻折型。 类型一：共角共边型 “共角共边型”是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形，只要再证明一个角相等或者证明夹公共角（对顶角）的两边对应成比例就能证明两个三角形相似。共以下四种基本图形： 图中的△ABC 和△ADE 有一个公共角或一组对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比例。 例题精解 例 1 如图，△ABC 中，D,E 分别在 AC,AB 上，且∠ABD=∠ACE,联结 DE。求证：△ADE∽△ABC。 源于名校，成就所托 2 点评：（1）若将题中条件“∠ABD=∠ACE”变为“BD⊥AC,CE⊥AB”，则结论 。 （2）证明过程中比例式 ACAEABAD 既是由△ABD∽△ACE 得到的结论，又是判定△ADE∽△ABC 的条件，也就是说，证明第一对三角形相似得到的结果（角相等或边成比例）作为条件马上用于证明第二对三角形相似，这是证明三角形相似常用的方法。 引申：（1）若设BD,CE 的交点为F，则还可以证明 ∽△ 和 ∽ 可得到4 对相似三角形。 （2）若条件“∠ABD=∠ACE”变为“BD⊥AC,CE⊥AB”，即使BD,CE 成为△ABC 的高，则共可得到8 对相似三角形。 【举一反三】 1、如图，D 是Rt△ABC 斜边AB 上的中点，过D 作DF⊥AB，交BC 于E，交A 的延长线于点F，求证：DC2=DE·DF. 2、如图，平行四边形ABCD 中，点E 在 BC 上，AE 交BD 于F,已知 BE2=EF·AE。求证：DC2=BF·BD. 源于名校，成就所托 3 3、如图，等边三角形ABC 中，D,E 分别在BC,AB 上，且EBAEDCBD21,21,AD交CE 于F。求证：AD·DF=294 AB . 点评：等腰三角形和等边三角形中相等的角为相似三角形准备了“天然”的条件。本题整个图形呈旋转对称造就了诸多的边角相等关系和线段成比例关系。 类型二：嵌入型 “嵌入型”是指一个角镶嵌在一个三角形或四边形的内部，这个角的顶点与三角形的顶点重合，或者这个角的顶点在三角...
