空间向量及其运算知识点及练习题 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a，b 的相等向量OA→和OB→，则∠AOB 叫作向量a，b 的夹角，记作〈a，b〉，0≤〈a，b〉≤π . 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3 使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2，e3 叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R )， a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23， cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23(a≠0，b≠0) . 基础练习： 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b 共面． ( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)． ( × ) (3)对于非零向量b，由 a·b＝b·c，则 a＝c. ( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． ( × ) (5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→ ＋DA→ ＝0. ( √ ) (6)|a|－|b|＝|a＋b|是 a、b 共线的充要条件． ( × ) 2． 如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若AB→＝a，AD→ ＝b，AA1→ ＝c，则下列向量中与BM→ 相等的向 量是 ( ) A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c 答案 A 解析 BM→ ＝BB1→ ＋B1M→ ＝AA1→ ＋12(AD→ －AB→) ＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. 3． 已...
