学科：奥数 教学内容：竞赛中的三角函数例题选讲 【内容综述】 一．三角函数的性质 1．正，余弦函数的有界性 对任意角，， 2．奇偶性与图象的对称性 正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称 3．单调性 y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。 4．周期性 y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π ，y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是π 。 【例题分析】 例1 已知圆222kyx至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。 解 因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222kyx也关于原点对称，所以，图222kyx只需覆盖的一个最值点即可。 令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即 综上可知，所求的K 为满足的一切实数。 例2 已知，且 求 cos(x+2y)的值。 解 原方程组可化为 因为所以令 ，则在上是单调递增的，于是由 得 f(x)=f(-2y) 得 x=-2y 即 x+2y=0 例3 求出（并予以证明）函数 解 首先，对任意，均有 这表明，是函数 f(x)的一个周期 其次，设，T是 f(x)的一个周期，则对任意，均有 在上式中，令 x=0，则有 。 两边平方，可知 即 sin2T=0，这表明，矛盾。 综上可知，函数的最小正周期为。 例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得 sin(cosc)=c, cos(sind)=d 证，构造函数 f(x)=cos(sinx)-x f(x)在区间内是单调递减的，由于 f(0)=cos(sin0)-0=1>0. 故存在唯一的，使f(d)=0，即 cos(sind)=d 对上述两边取正弦，并令c=sind，有 sin(cos(sind))=sind sin(cosc)=c 显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且 例4 已知对任意实数x，均有 求证： 证 首先，f(x)可以写成 ① 其中是常数，且， 在①式中，分别令和得 ② ③ ②+③，得 又在①式中分别令，得 ④ ⑤ 由④+⑤，得 【能力训练】 （A组） 1．求函数的单调递增区间 2．已知是偶函数，，求 3．设，，试比较的大小。 4．证明：对所以实数x,y，均有 5．已知为偶函数，且 t满足不等式，求t的值。 （B组） 6．已知，且满足： （1）；（2）； （3）。 求f(x)的解析式 7．证明：对...
