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第3章特征值和特征向量练习题

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第3 章 特征值和特征向量 练习题 1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为  = 2,试求出 1231A 的一个特征值。( 3 / 4 ) 2、设矩阵 20203020xA 的一个特征值 1 = 0,求 x 值和 A 的全部特征值。(2;0、3、4) 3、设矩阵 200200yyxA 的一个特征值为3,且 A 的三个特征值之积为 12,确定 x和 y的值。 ( 1 ; 2 或 2 ) 4、已知向量  = ( 1 , k , 1 )T 是矩阵 211121112A 的逆矩阵 A1 的特征向量,试求常数 k 之值。( k = 1 或 2 ) 5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9,与其对应的特征向量  = ( 1 , 1 , 1 )T ,求方阵 A 的 9 个元素之和。( 1 / 3 ) 6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0,1,2,…,n  1,且方阵 B 与 A 相似,求  B+E  。( n! ) 7、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2,且满足 A2 = 2 A,求行列式  4 E  A  的值。(16) 8、设向量  = ( 1 , 0 ,  1 ) T ,矩阵 A =  T ,若 n 为正整数,计算行列式 det ( a E  An ) 的值 。 ( a2 ( a  2n ) ) 9、设 0101010yxA 有三个线性无关的特征向量(可以相似对角化),求 x 、y 应满足的条件。(x + y = 0 ) 10、设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值 1 ,2 ,…,n 互不相同,1  i  n ,求矩阵 i E  A 的秩。( n  1 ) 11、已知 111131111A,(1)求 A 的全部特征值与特征向量;(2)判定 A 能否对角化,若能,求可逆矩阵 P ,使 P1 A P 为对角阵。 ( 1 =1,k 1 ( 1 , 1 , 1 )T ,k 1 为任意非零常数;2 = 2(二重),k 2 ( 1 , 1 , 0 ) T + k 3 ( 1 , 0 , 1 )T ,k 2 ,k 3 为不全为零的任意常数。101011111P ,2000200011APP ) 12、设 101120002A,求 A 的全部特征值与特征向量,并判定 A 是否与对角阵相似(说明理由)。 ( 1 =1,k 1 ( 1 , 0 , 1 )T ,k 1 为任意非零常数;2 = 2...

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