第3章特征值和特征向量练习题

第3 章 特征值和特征向量 练习题 1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为  = 2，试求出 1231A 的一个特征值。（ 3 / 4 ） 2、设矩阵 20203020xA 的一个特征值 1 = 0，求 x 值和 A 的全部特征值。（2；0、3、4） 3、设矩阵 200200yyxA 的一个特征值为3，且 A 的三个特征值之积为 12，确定 x和 y的值。 （ 1 ； 2 或 2 ） 4、已知向量  = ( 1 , k , 1 )T 是矩阵 211121112A 的逆矩阵 A1 的特征向量，试求常数 k 之值。（ k = 1 或 2 ） 5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9，与其对应的特征向量  = ( 1 , 1 , 1 )T ，求方阵 A 的 9 个元素之和。（ 1 / 3 ） 6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0，1，2，…，n  1，且方阵 B 与 A 相似，求  B+E  。（ n! ） 7、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2，且满足 A2 = 2 A，求行列式  4 E  A  的值。（16） 8、设向量  = ( 1 , 0 ,  1 ) T ，矩阵 A =  T ，若 n 为正整数，计算行列式 det ( a E  An ) 的值 。 （ a2 ( a  2n ) ） 9、设 0101010yxA 有三个线性无关的特征向量（可以相似对角化），求 x 、y 应满足的条件。（x + y = 0 ） 10、设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值 1 ，2 ，…，n 互不相同，1  i  n ，求矩阵 i E  A 的秩。（ n  1 ） 11、已知 111131111A，（1）求 A 的全部特征值与特征向量；（2）判定 A 能否对角化，若能，求可逆矩阵 P ，使 P1 A P 为对角阵。 （ 1 =1，k 1 ( 1 , 1 , 1 )T ，k 1 为任意非零常数；2 = 2（二重），k 2 ( 1 , 1 , 0 ) T + k 3 ( 1 , 0 , 1 )T ，k 2 ，k 3 为不全为零的任意常数。101011111P ，2000200011APP ） 12、设 101120002A，求 A 的全部特征值与特征向量，并判定 A 是否与对角阵相似（说明理由）。 （ 1 =1，k 1 ( 1 , 0 , 1 )T ，k 1 为任意非零常数；2 = 2...