2025年21二次根式知识点+典型例题+习题

21.1 二次根式知识点1.二次根式的有关概念：像这样某些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 二次根式的特点：（1）在形式上具有二次根号 ，表达 a 的算术平方根。（2）被开方数 a≥0，即必须是非负数。（3）a 可以是数，也可以是式。（4）既可表达开方运算，也可表达运算的成果。2.二次根式中字母的取值范围的基本根据：(1)被开方数不不不小于零。 (2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的有关等式：(a0) 有关例题1.二次根式的概念例题一： 下列各式中， 二次根式的个数是（）考点： 二次根式的概念． 分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可．解答： 解：3a，有也许是负数，-144 是负数不能作为二次根式的被开方数，因此二次根式的个数是 3 个。点评： 本题考察二次根式的概念，注意运用一种数的平方一定是非负数这个知识点．变式一:下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥，一定是二次根式的有()个。解：①被开方数 a 有也许是负数，不一定是二次根式； ② 被开方数 y+z 有也许是负数，不一定是二次根式； ③ 被开方数一定是非负数，因此③一定是二次根式； ④ 被开方数一定是正数，因此④一定是二次根式； ⑤ 被开方数一定是非负数，因此⑤一定是二次根式； ⑥ 被开方数有也许是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有 3个，故选 C． 点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一种数的偶次幂一定是非负数，加上一种正数后一定是正数．2.二次根式中字母的取值范围的基本根据 例题二：函数 y=中自变量 x 的取值范围是 _______ ． 考点： 函数自变量的取值范围；分式故意义的条件；二次根式故意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数不小于等于 0，分母不等于 0，列不等式即可求解． 解答： 解：依题意，得 x﹣3＞0， 解得 x＞3． 点评： 本题考察的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数体现式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数体现式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数体现式是二次根式时，被开方数是非负数．变式二：若式子故意义，则 x 的取值范围是_______ ． 考点： 二次根式故意义的条件；分式故意义的条件． 分析： 根据二次根式及分...