2025年数学思想与方法形成性考核册答案

一、简答题 1. 分别简单叙说算术与代数的解题措施基本思想，并且比较它们的区别。 解答：算术解题措施的基本思想：首先要围绕所求的数量，搜集和整理多种已知的数据，并根据问题的条件列出有关这些详细数据的算式，然后通过四则运算求得算式的成果。 代数解题措施的基本思想是：首先根据问题的条件构成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题容许未知的量参与运算；算术措施的关键之处是列算式，而代数措施的关键之处是列方程。2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。解答：人们常常遇到两类截然不一样的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其成果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和成果之间存在着必然的联络，因此事先可以预知成果怎样。 随机现象的特点是：在一定的条件下，也许发生某种成果，也也许不发生某种成果。对于此类现象，由于条件和成果之间不存在必然性联络。 在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定成果。不过由于随机现象条件和成果之间不存在必然性联络，因此不能用确定数学来加以定量描述。同步确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。二、论述题1. 论述社会科学数学化的重要原因。解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其重要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量根据，这是促使社会科学数学化的最主线的原因。第二，社会科学的各分支逐渐走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，伴随数学的深入发展，它出现了某些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象通过量化后可以进行数值处理。2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的处理，往往给数学带来新的内容，新的进展...