高中数学竞赛培训专题 6---整数的整除性1 整数的整除性的有关概念、性质(1)整除的定义:对于两个整数 a、d(d≠0),若存在一种整数 p,使得成立,则称 d 整除 a,或 a 被 d 整除,记作 d|a。若 d 不能整除 a,则记作 d a,如 2|6,4 6。(2)性质1)若 b|a,则 b|(-a),且对任意的非零整数 m 有 bm|am2)若 a|b,b|a,则|a|=|b|;3)若 b|a,c|b,则 c|a4)若 b|ac,而(a,b)=1((a,b)=1 表达 a、b 互质,则 b|c;5)若 b|ac,而 b 为质数,则 b|a,或 b|c;6)若 c|a,c|b,则 c|(ma+nb),其中 m、n 为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)例 1 (1987 年北京初二数学竞赛题)x,y,z 均为整数,若 11|(7x+2y-5z),求证:11|(3x-7y+12z)。证明 4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11|11(3x-2y+3z), 且 11|(7x+2y-5z),∴ 11|4(3x-7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11|(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明措施(1) 运用数的整除性特征(见第二讲)例 2(1980 年加拿大竞赛题)设 72|的值。解 72=8×9,且(8,9)=1,因此只需讨论 8、9 都整除的值。若 8|,则 8|,由除法可得b=2。若 9|,则 9|(a+6+7+9+2),得 a=3。(2)运用持续整数之积的性质① 任意两个持续整数之积必然是一种奇数与一种偶数之一积,因此一定可被 2整除。② 任意三个持续整数之中至少有一种偶数且至少有一种是 3 的倍数,因此它们之积一定可以被 2 整除,也可被 3 整除,因此也可以被 2×3=6 整除。这个性质可以推广到任意个整数持续之积。例 3(1956 年北京竞赛题)证明:对任何整数 n 都为整数,且用 3 除时余 2。证明 为持续二整数的积,必可被 2 整除. ∴对任何整数 n 均为整数, 为整数,即原式为整数.又 ,2n、2n+1、2n+2 为三个持续整数,其积必是 3 的倍数,而 2 与 3 互质,∴是能被 3 整除的整数.故被 3 除时余 2.例 4 一整数 a 若不能被 2 和 3 整除,则 a2+23 必能被 24 整除.证明 a2+23=(a2-1)+24,只需证 a2-1 可以被 24 整除即可. 2 .∴a 为奇数.设 a=2k+1(k 为整数),则 a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1). k、k+1 为二个持续整数,故 k(k+1)必能被 2 整除,∴8|4k(k+1),即 8|(a2-1).又 (a-1),a,(a+1)为三个持续整数,其积必被 3 整除,即 3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1), 3...