2025年竞赛培训专题6整数的整除性VIP专享

高中数学竞赛培训专题 6---整数的整除性1 整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数 a、d（d≠0），若存在一种整数 p，使得成立，则称 d 整除 a，或 a 被 d 整除，记作 d|a。若 d 不能整除 a，则记作 d a，如 2|6，4 6。（2）性质1)若 b|a，则 b|(-a)，且对任意的非零整数 m 有 bm|am2)若 a|b，b|a，则|a|=|b|;3)若 b|a，c|b，则 c|a4)若 b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1 表达 a、b 互质，则 b|c；5）若 b|ac，而 b 为质数，则 b|a，或 b|c；6）若 c|a，c|b，则 c|（ma+nb），其中 m、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例 1 （1987 年北京初二数学竞赛题）x，y，z 均为整数，若 11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。证明 4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z), 且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明措施(1) 运用数的整除性特征（见第二讲）例 2（1980 年加拿大竞赛题）设 72｜的值。解 72=8×9，且（8，9）=1，因此只需讨论 8、9 都整除的值。若 8｜，则 8｜，由除法可得ｂ＝２。若 9｜，则 9｜（a+6+7+9+2），得 a=3。（2）运用持续整数之积的性质① 任意两个持续整数之积必然是一种奇数与一种偶数之一积，因此一定可被 2整除。② 任意三个持续整数之中至少有一种偶数且至少有一种是 3 的倍数，因此它们之积一定可以被 2 整除，也可被 3 整除，因此也可以被 2×3=6 整除。这个性质可以推广到任意个整数持续之积。例 3（1956 年北京竞赛题）证明：对任何整数 n 都为整数，且用 3 除时余 2。证明 为持续二整数的积,必可被 2 整除. ∴对任何整数 n 均为整数, 为整数,即原式为整数.又 ，2n、2n+1、2n+2 为三个持续整数，其积必是 3 的倍数，而 2 与 3 互质，∴是能被 3 整除的整数.故被 3 除时余 2.例 4 一整数 a 若不能被 2 和 3 整除，则 a2+23 必能被 24 整除.证明 a2+23=（a2-1）+24，只需证 a2-1 可以被 24 整除即可. 2 .∴a 为奇数.设 a=2k+1(k 为整数),则 a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1). k、k+1 为二个持续整数，故 k（k+1）必能被 2 整除，∴8|4k（k+1），即 8|（a2-1）.又 （a-1），a，（a+1）为三个持续整数，其积必被 3 整除，即 3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1）， 3...