2025年数列知识点总结精华及试题精粹

数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和知识要点知识要点1. ⑴ 等差、等比数列：等差数列等比数列定义通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中项公式A= 推广：2=。推广：性质1若 m+n=p+q 则 若 m+n=p+q，则。2若成 A.P （ 其 中） 则也为 A.P。若成等比数列 （其中），则成等比数列。3． 成 等 差 数列。成等比数列。4 ， 5⑵ 看数列是不是等差数列有如下三种措施：①②2()③(为常数).⑶ 看数列是不是等比数列有如下四种措施：①②(，)①注①：i. ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即a、b、c 等比数列.ii. （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充足不必要.iii. →为 a、b、c 等比数列的必要不充足.iv. 且→为 a、b、c 等比数列的充要.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.③(为非零常数).④ 正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.⑷ 数列{}的前项和与通项的关系：[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为 0，则是等差数列充足条件）.② 等差{}前 n 项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充足条件；若不为零，则是等差数列的充足条件. ③ 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不也许有等比数列）2. ① 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍；等差数列等比数列定义递 推 公式；；通 项 公式（）中项（）（）前项和重 要 性质daann1)0(1qqaanndaann 1mdaanmnqaann1mnmnqaadnaan)1(111nnqaa0,1qa2knknaaA0,,*knNkn)0(knknknknaaaaG0,,*knNkn)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnnam⋅an=ap⋅aq(m,n, p,q∈ N¿,m+n=p+q)常数）为(}{1daaPAannn常数）为(}{1qaaPGannnknknnqaqaa 11ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn2ba mnmnaaabG2mnmnnaaa2qpnmaaaaqpnmaaaa}...