统计学常用分布及分位数

§1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及 F 分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当 X1、X2、…、Xn 相互独立且都服从 N（0，1）时，Z= 的分布称为自由度等于 n 的分布，记作 Z~(n)，它的分布密度 p(z）=式中的=，称为 Gamma 函数，且=1, =。分布是非对称分布，具有可加性，即当 Y 与 Z 相互独立，且 Y~（n)，Z～(m),则 Y+Z～(n+m)。 证明: 先令 X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m 相互独立且都服从 N（0，1），再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X， Y+Z= X+X+…+X+ X+X+…+X， 即可得到 Y+Z～(n+m）。 2。 t 分布 若 X 与 Y 相互独立，且 X～N(0,1)，Y～（n），则 Z = 的分布称为自由度等于n 的 t 分布,记作 Z ~ t （n）,它的分布密度 P（z）= 。 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数,且当 n〉30 时,t分布与标准正态分布 N（0，1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布的分布函数值查 N（0,1)的分布函数值表便可以得到。 3。 F 分布 若 X 与 Y 相互独立，且 X～（n）,Y～(m）， 则 Z=的分布称为第一自由度等于 n、第二自由度等于 m的 F 分布，记作 Z～F (n, m)，它的分布密度 p(z)=请注意:F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 Z～F (n， m)时，～F （m ,n）。4。 t 分布与 F 分布的关系若 X~t(n），则 Y=X～F（1，n）. 证：X～t(n），X 的分布密度 p（x)= 。 Y=X 的分布函数 F(y) =P｛Y〈y}=P｛X〈y}。 当 y0 时，F(y)=0，p（y)=0；当 y〉0 时，F（y) =P｛—〈X<}==2， Y=X 的分布密度 p（y)=,与第一自由度等于 1、第二自由度等于 n 的 F 分布的分布密度相同，因此 Y=X～F（1，n). 为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表.有关分位数的概念如下:4。 常用分布的分位数 1）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼,即 α 分位数、上侧 α 分位数与双侧 α 分位数，它们的定义如下： 当随机变量 X 的分布函数为 F(x），实数 α 满足 0 <α〈1时，α 分位数是使 P{X< xα}=F（xα)=α 的数 xα，上侧 α 分位数是使 P｛X 〉λ}=1-F...