矩阵Schatten-p范数及其性质最终版本

一、引言 矩阵范数是一种的特殊的凸函数，是定义在线性空间上的．这个线性空间中的元素满足矩阵的数乘性质和矩阵的加法性质．这些元素是所有的型实矩阵．不同种类型的矩阵范数在这个线性空间上能够被引入． 矩阵 Schatten-p 范数近些年来在图像修复中、图像修补、图像去噪等领域得到广泛的应用和研究 Error: Reference source not foundError: Reference source not foundError:Reference source not found，矩阵范数不等式在优化领域、几何研究中得到诸多的应用 Error: Reference source notfoundError: Reference source not found． 本文尽可能系统性地总结了矩阵范数不等式和矩阵 Schatten-p 范数的定义及其性质，并对范数不等式以及矩阵 Schatten-p 范数的性质做出简单的证明，文章内容：约定文中的符号定义并给出相关的基础知识与定义；简单阐述矩阵 Schatten-p 范数的性质及其定义并加以证明；给出几个矩阵范数不等式以及相关简洁证明；简单总结．二、基础知识为了更好地研究矩阵 Schatten-p 范数和矩阵范数不等式，此处约定相应符号的意义并给出一些已有文献中的基础知识．对于线性空间（向量空间），记作，其中线性空间是数域上的．如果数域是明确的或上下文已所指明确的情况时，此线性空间又常记为．如线性空间简记作．定义 1（赋范线性空间与范数） 实 值 函 数是 定 义 在 线 性 空 间上 的 ：， 若 满 足 （）：（a）正定性：，等号成立时当且仅当；（b）齐次性：；（c）三角不等性： ≤；称为一个范数，并且是定义在线性空间上的．同时也把范数的线性空间定义为了赋范线性空间，记作，当数域是明确的，也可简记为，如果当范数也是指明的情况下，可简记作．明显，当数域时，由以上描述可以得到凸函数，并且是定义在线性空间上的，当数域时．如果是一个赋范线性空间，令则也是线性空间上的范数， 表示实值内积运算，它称为是范数的对偶函数．定义 2（矩阵算子式范数） 在赋范线性空间与赋范线性空间中，从赋范线性空间到赋范线性空间的一个线性映射是由矩阵定义的：，矩阵空间中矩阵的算子范数为：．当时，将范数称为矩阵的算子式范数，并记作，简称范数，即：．另外，通常情况下矩阵的最大奇异值或谱半径等于矩阵的算子式 2 范数，故矩阵的谱范数是．容易证明，满足，当是矩阵的算子式范数的时候．定义 3（范数）范数是赋范线性空间中的范数，可以定义为：当 时，易证，...