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空间向量在立体几何中的应用

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[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.了解向量方法在讨论立体几何问题中的应用.1.高考中很少考查直线的方向向量,而平面法向量则多渗透在解答题中考查.2.利用向量法证明有关线、面位置关系,在高考有所体现,如 2024 年 T18,可用向量法证明.3.高考对空间向量与应用的考查,多以解答题形式考查,并且作为解答题的第二种方法考查,如 2024 年 T16,T17 等.[归纳·知识整合]1.两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线 l⊥平面 α,取直线 l 的方向向量,则这个向量叫做平面 α 的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.[探究] 1.在求平面的法向量时,所列的方程组中有三个变量,但只有两个方程,如何求法向量?提示:给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零解,即可作为法向量的坐标.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1,l2的方向向量分别为n1,n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线 l 的方向向量为 n,平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔m·n=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面 α、β 的法向量分别为 n,m.α∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=03.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 θ,则 cos φ=|cos θ|=(其中 φ为异面直线 a,b 所成的角).4.直线和平面所成的角的求法如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角为 φ,两向量 e 与 n 的夹角为 θ,则有 sin φ=|cos θ|=.5.求二面角的大小(1)如图①,AB、CD 是二面角 α-l-β 的两个面与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈,〉.(2)如图②③,n1,n2分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ=〈n1,n2〉(或 π-〈n1,n2〉).[探究] 2.两向量的夹角的围是什么?两异面直线所成角呢?直线与平面所成角呢?二面角呢?提示:两向量的夹角围是[0,π];两异面直线所成角的围是;直...

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