[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在讨论立体几何问题中的应用.1.高考中很少考查直线的方向向量，而平面法向量则多渗透在解答题中考查．2.利用向量法证明有关线、面位置关系，在高考有所体现，如 2024 年 T18，可用向量法证明．3.高考对空间向量与应用的考查，多以解答题形式考查，并且作为解答题的第二种方法考查，如 2024 年 T16，T17 等.[归纳·知识整合]1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．[探究] 1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为 ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面 α、β 的法向量分别为 n，m.α∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝03.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中 φ为异面直线 a，b 所成的角)．4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝.5．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD 是二面角 α－l－β 的两个面与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ＝〈n1，n2〉(或 π－〈n1，n2〉)．[探究] 2.两向量的夹角的围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角围是[0，π]；两异面直线所成角的围是；直...
