微分中值定理的证明及其应用论文设计

1 微分中值定理基本内容及其几何意义1.1 罗尔(Rolle)中值定理若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间上可导；（iii）在区间端点处的函数值相等，即，则在上至少存在一点，使得.罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注：定理中三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导，则在上至少存在一点，使得.拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线。拉格朗日公式有下面几种等价表示形式：值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数。1.3 柯西（Cauchy）中值定理设函数和满足如下条件：（i）在闭区间上都连续；（ii）在开区间上都可导；（iii）和不同时为零；（iv），则存在，使得.柯西中值定理的几何意义：把，这两个函数写作以为参量的参数方程满足定理条件，由参数方程所确定的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点连线。1.4 三大中值定理的联系三大中值定理是层层递进的关系，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式：在拉格朗日中值定理中增加条件，即得到罗尔中值定理；在柯西中值定理中令，即得到拉格朗日中值定理。三大中值定理的几何意义具有一个共同点，即符合中值定理条件的函数曲线上至少存在一点，在这一点处的切线平行于曲线所处区间的两个区间端点的连线。综上所述，三大中值定理既是独立存在的，又是相互联系的。他们反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，是研究函数的有力工具，应用十分广泛，其中罗尔中值定理是这一系列的基础内容，拉格朗日中值定理是这一系列的核心内容，柯西中值定理是这一系列的推广应用。2 微分中值定理的证明对于微分中值定理的证明，通常来说都是运用费马引理证明出罗尔中值定理，然后运用构造辅助函数的方法再去证明在证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并且辅助函数的构造有很多种方法。因此本文将阐述这一通常证明方法，并且还总结了一些微分中值定理的其他证明方法。首先引入费马（Fermat）引理：设是的一个极值点，且在处导数存在，则.证明罗尔中值定理：因为在上连续，所以有最大值和最小值，分别用和表示，现在分为两种情况...