另一方面，州一兀2、1+互西于是 1 吓+心』小-叽心+西）二丸-1x210^3•已知 f-x\nx-^mx2-x,加 wR・若/'（x）有两个极值点2x},x2,且%!e~（e 为自然对数的底数）.【解析】解法一：构造齐次式欲证兀“2>于，通过取对数“化积为和”将其变形为 lnx1+lnx2>2,若/（兀）有两个极值点舟，X2,即函数厂（兀）有两个零点，又因为 f\x）=\nx-mx,所以兀],兀 2 是方程广（兀）=0 的两个不同的实根，于是有严一州=°,两式相加可得刃」呵+In 勺,IInx2-mx2=0x}+x2毗一州"，两式相减可得心屹也 lnx2-mx2=0Xj-x2从而可得，"勺_+ 111 七 一 11】-]— 111^ 2X]+%又 0<^<^，设心立，贝 ijr>l.（在换元时，设岀新元，一定_兀 1不耍忘了写出新元的取值范围）因此，In*]+1 口兀 2 二""+/)："/,(f>l).要证 InXj+lnx2>2,即证：十>2,(Z>1).即：当/>1 时，有 Int>——・/+1设函数/讹)=h“_斗字，(/>1),>0,2(r+l)-2(r-l)_(—1)?(/+1)~〈+1)~所以，力(/)为(1,+8)上的增函数.注意到，方(1)=0,因此，力(/)＞力(1)=0・于是，当小时，有吹＞嚮・所以，有 In+InA：2＞2 成立，即兀］兀 2＞几原命题得证.【方法点睛】本解法主要是考验对也的变形,兀 2 一 K观察到每一项具备齐次的特征(不包括对数)，所以同除以召，结果为卫或者 1,观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以西，结果为土或者 1,进而就将不等式化为以卫为核心的不等式.解构造差量w(xj+x2即2构造 g(x)=/V)-/f一一 X5/xe0,为后面证明做铺垫〉上单调递减.单欲证>e2,需证 111 兀]+Inx2>2・若/(x)有两个极值点斗，x2,即函数厂(x)有两个零点.又/'(x)=lnx-mx,所以，X|,心是方程/'(兀)=0 的两个不同实根.显然 m>0,否则，函数广(x)为单调函数，不符合题意.,Inx-mxx=0z、卄厂二"、十“由｛=^>In%]+Inx2=+x2),即只乔要证明IIn—mx^—02(mx-\YgG)=>0，x[2-mx)(I\故 g(x)在 0,—Vm)(?A 故广⑴ vf——X.5 丿由工 E、11 一加 X由于/(X)=——rn=,xx故广(x)在(0,丄]上单调递增,9(构造时应满足gw 丿221（2设兀|V—V 左，令 X=X},贝 0/'（兀 2）=/'（兀]）＜/'X]m
