三角形的五心向量结论证明VIP专享

Word 文档2•在AABC'给等于己知 ADMBC 中_SAABC三角形的五心向量结论证明I.0 是坐 PR 的重心 o0 片+0 厶+0 出=0（其中 o,b,c 是纠鬥厶三边）证明：充分性:0 珥+0 鬥+04=0 二＞0 是 A/^4 的重心若。耳+遞+西=6,则 OP^OP2=-OP.,以西，西为邻边作平行四边形 OPfJP,，设理与交于点用，则尺为人弓的中点，有遞+遞=0 耳，得 o^=-o^,即 O、P、R、P 四点共线，故为乂叨的中线，同理，PgO 亦为△片北乙的中线，所以，。为的重心。*AABC 中屈+疋一定过旋的中点，通过 AABC 的重心AP=^(AS+AC),3=>P 为△ABCfi 勺重心BP=j(BA+BC),★PG=^PA+PB+PC)<^G 为卜 ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG=>3PG={AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)'：G 是 HABC 的重心・•・GA+GB+GC=O=>AG+BG+CG=6t即 3PG=PA+PB+PC由此可得 PG=^PA+PB+PC).仮之亦然(证略))A4DC^ABOC=、AAOC='AAOB=\*若 0 是 AABC 的重心，则 3Word 文档Word 文档SAAHC•SAAHB=tanA:*O是所在平AB*设BCAB\AB\cosB+|AC|cosCBU 丄2.<__,=>P 为拆 C 的垂心BP^AC=O*点 O 是纠上出的垂心 OOPlO^=ORO^=O^OPl证明：。是 APfiP.的垂心 O 西丄丞，西垂=0。西•（遞-西）=00 西•遞=西•西同理西丄血 O 近西=两•遞故当且仅当西•遞=遞•西=西•西.则 0 是厶 ABC 的垂心 证明：由 OA2+BC2=OB\CA2得 OA2+（OB-OC）2=OB\（OC-OA）2所以西・OC=OC「同理可证氐・OB=OB•龙：容易得到 OAOB=OB・65=卫•亦由以上结论知 0为△ABC 的垂心。Tr一+—）必垂直于边 BC,该向量必通过△ABCABcosBAClcosC_| 氏 |.| 朋 205-3 儿 |BC 訂 M|COSC _立+丽\AB\cosB\AC\cosC|AC|cosC*若 H 是 AABC （非直角三角形）的垂心， OA++BA=OB+的垂危（―朋+Word 文档Word 文档祢若点 o 为 AABC 所在的平面内一点,满足(6X+OB).(OC+OAJ.AC则点 0 为 AABC 的外心。DP.PB=DP.PC=>P故 tanA ・ HA+tanB e HB+tanOHC=63•点。是乂啓的外心 o|OP|=|OX|=|O^|.证明:O 是的外心 O|亦|=|亦|=|OC|(或 2 二 032 二 oJ2)(点 O 到三边距离相等)0(OA+OB\AB=(OB+OC)・BC=(OC+OA)・CA=0(0 为三边垂直平分线的交点)证明：因为瓯二阪-丽.所以+0B)・BA=|0AI2-IOBp.同理得(OB+OC).^H^|2-|OC|\(OC+OA).AC=|OC|2-|OA|.由题意得|0AI2-|0BP=|OBI2-|0CI2=|0C|2-|0A|2^^|0A|2=|0B|2=|0C|2|0A|=|0B|=|0C|o故点 o 为△ABC 的外心。2、疋两点分别是 MBC...