从欧拉分解公式到卡丹公式

从欧拉分解公式到卡丹公式by 宁波徐冀睿，书写于 2024 年 6 月 16 日 欧拉分解公式： a3  b3  c3  3abc (a  b  c)(a2 b2  c2  ab  bc  ca) (a  b  c)(a  b)2  (b  c)22 (c  a)2 (a  b  c)(a  bw  cw2 )(a  bw2  cw)其中w2 w  1  0（下同）特别当 a  b  c  0 时，有 a3 b3  c3  3abc下面介绍下这个公式的几个用法：例 1、x3 y3  3xy 1,求 x y 的值.解 ：x3 y3  3xy 1 x3 y3  (1)3  3xy  (1) (x y 1) (x  1)2 ( y  1)22 (x  y)20得 x y  1 或 x y  1，即 x y  2例 2、因式分解(a  b)3 c3 (b  c)3 a3  (c  a)3 b3解：由于(a  b)c  (b  c)a  (c  a)b  0则原式=3abc(a  b)(b  c)(c  a)例 3、因式分解x3 6x  9解：原式= x3 23 13 3x  2 1=(x  3)(x2 3x  3)例 4、因式分解8x6 5x3  1解：原式=(2x2 )3x3  13 3  2x2 x 1=(2x2  x  1)(4x4 2x3  x2  x  1)欧拉分解公式的运用，让有些题目有了更有趣的解答。当进一步翻开卡丹公式时，就发现将欧拉分解公式加入一元三次方程里也能得到一个有趣的解法。下面介绍下这个解法： 解关于 x 一元三次方ax3第一种变形： bx2  cx  d 0(a 0)一般方程都可以化简成x3 3 px  q 0 形式，对于这个形式的方程，卡丹公式就是一个解法，下面我给另一个新的解法思路：解：若u3 v3 =q, uv  p即u3 v3 =q, u3v3 p3，可以逆用韦达定理解得q q2  4 p3q q2  4 p3u= 3 ，v= 3 22则 x3  u3  v3  3uvx12323 1 1 4p3q323 1 1 42p3q3 (x  u v)(x  uw  vw2 )(x  uw2 vw)  0x  u  v, x  uw  vw2 , x uw2 vw123第二种变形：x3  3 px2  q3  0解：若即u3 v3 =1, uv p，可以逆用韦达定理解得 q即u3 v3 =1, u3v3 3，可以逆用韦达定理解得q3u= ，v=u3 x3 v3 x3 (q)3 3ux  vx  q (ux  vx  q)(ux  vxw  qw2 )(ux  vxw2  qw)  0qqw2qwx   v , x , xu  vw u  vw解方程应用：up(1) x3  6x  6  0(2)x3  3 32x  3  0(3)3x3 6x2  4  013 23 43 23 23 23 23 43 43 4w23 4w1 3 2w2解（1）： x3 ( 32)3  ( 34)3  3  x (x  34)(x  32w  34w2 )(x  32w2  34w)  0x   3 2  3 4, x   3 2w  3 4w2 , x  32w2  3 4w123解（2）： x3 ( 32)3  13 3 1 x (x  1)(x  32w  w2 )(x  32w2 w)  0x  1, x   3 2w  w2 , x  32w2  w123解（3）：(x)3 ( 32x)3  ( 34)3  3  x  32x  (x  32x+ 34)(x  3 2xw+ 34w2 )(x  32xw2 + 34w)  0x  1  3, x22 1  3, x3  2w