含绝对值的不等式(1)

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2025-05-08 发布于天津市
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含绝对值的不等式（组）知识定位解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采纳正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法，有时也利用几何意义求解。知识梳理 1、绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x 到原点的距离；|x1−x2|是指数轴上x1，x2两点间的距离.。2、|x|>a与|x|0 时，不等式|x|>¿ ¿的解集是{x|x>a,x或 <−a}不等式|x|a的解集是{x|x ∈R }不等式|x|c与|ax+b|a型的不等式来求解。当c>0 时，不等式|ax+b|>c 的解集是{x|ax+b>c ,或ax+b<−c}不等式|ax+b|c 的解集是{x|x ∈R }不等式|a+bx|a与|x||cx+d|型不等式。 (四)分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。（五）几何法：即转化为几何知识求解。例题精讲【题目】已知方程｜x｜=ax+1 有一负根，且无正根，求 a 的取值范围．【答案】a≥1【解析】解设 x 为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有 a＞-1．反之，a＞-1 时，原方程有负根．设方程有正根 x，则 x=ax＋1，即所以 a＜1．反之，a＜1 时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须 a≥1．【知识点】含绝对值的不等式（组）【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】解方程组【答案】【解析】解由①得 x+y=｜x-y｜+2．因为｜x-y｜≥0，所以 x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③ 把③代入②有 x+y=x+2，所以 y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以 x-2=x， ④ 或 x-2=-x． ⑤ ④无解，所以只有解⑤得 x=1．故为原方程组的解．说明：本题若按通常的解法，区分 x+y≥0 和 x+y＜0 两种情形，把方程②分成两个不同的方程 x+y=x+2 和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有 x+y＞0，因而可以立即消...

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