广东饶平二中 2011 高考第一轮学案：基本不等式及应用一、知识归纳：1．基本不等式：①，（当且仅当时，取等号）变形：，，② 重要不等式：如果，则（当且仅当时，取“”号）2．最值问题： 已知是正数，① 如果积是定值 P，则当时，和有最小值；② 如果和是定值 S，则当时，积有最大值.利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。3．称为的算术平均数，称为的几何平均数。4．（文科不作要求）三元基本不等式：若，则二、学习要点：1．掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。2．基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。3．只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。4．基本不等式的主要应用有：求最值、证明不等式、解决实际问题。三、例题分析：例 1．已知，则的最大值是________.例 2．已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。[来源:学§科§网 Z§X§X§K]例 3．求下列函数的最小值（1）（2）已知，且求的最大值及相应的，的值。[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]例 4. 围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)。（1）将总造价表示为的函数； （2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 四、练习题：1．设，且，则的最小值是A．6 B． C． D．2．下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．3．下列结论正确的是A．当且时， B．时，C．的最小值为 2 D．当无最大值4．对任意正实数，恒成立,则正实数的最小值为A．2 B．4 C．6 D．85．已知，则的最小值是A．2B．C．4D．56．函数的最大值为，最小值为，则的值是A． B． C． D．7．下列函数中最小值是 4 的是 A． B． C． D．8．设若的最小值为 A． 8 B．4 C． D．19．若直线过圆的圆心，则的最大值是[来源:学.科.网]A． B． C． D．10．已知，，，则A． B． C． D．11． 点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是____________.12．函数的最小值是_____________.1...
