一道试题的拓广原题如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？解：（1）四边形ADEF是平行四边形．∵在等边三角形BCE和等边三角形ABD中，∴BE=BC，BD=BA．又∵∠DBE=60o-∠ABE，∠ABC=60o-∠ABE，∴∠DBE=∠ABC．∴△BDE≌△BCA．∴DE=AC．∵在等边三角形ACF中，AC=AF，∴DE=AF．同理DA=EF．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）当∠BAC=150o时，∠DAF=90°，四边形ADEF是矩形．（3）当AB=AC时，四边形ADEF是菱形．（4）当∠BAC=150o且AB=AC时，四边形ADEF是正方形．（5）当∠BAC=60o时，点D、A、F在同一直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．探究1如图所示：以△ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正方形：正方形ABKF、正方形BCEG、正方形ACDH，试探究：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）这样的平行四边形是否总是存在？解：（1）四边形ADEF是平行四边形．∵在正方形BCEG和正方形ACDH中，∴CB=CE，CA=CD．又∵∠BCA=90o-∠ABE，∠ECD=90o-∠ABE，∴∠BCA=∠ECD．∴△BCA≌△ECD．∴AB=DE．∵正方形ABKF中，AB=AF，∴AF=DE．EDFBCADHEGFKBCA又∵∠FAD=360°-∠BAF-∠BAC-∠HAD=225°-∠BAC；∠EDA=∠EDC-∠CDA=∠BAC-45°，∴∠FAD+∠EDA=180°，∴AF∥DE,∴四边形ADEF是平行四边形．（2）当∠BAC=135o时，∠DAF=90°，四边形ADEF是矩形．（3）当AB=AC时，四边形ADEF是菱形．（4）当∠BAC=135o且AB=AC时，四边形ADEF是正方形．（5）当∠BAC=45o时，点D、A、F在同一直线上，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．探究2如图所示：以△ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正五边形：正五边形ABFKL、正五边形BCJIE、正五边形ACHGD，试探究：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFH是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFH是正方形？（5）这样的平行四边形是否总是存在？解：（1）四边形ADEF是平行四边形．∵在正五边形ABFKL和正五边形BCJIE中，∴BF=BA，BE=BC．又∵∠FBE=108o-∠ABE，∠ABC=108o-∠ABE，∴∠FBE=∠ABC．∴△FBE≌△ABC．∴EF=CA．∵正五边形ACHGD中，CA=DA，∴EF=DA．又∵∠FAD=360°-∠BAF-∠BAC-∠CAD=216°-∠BAC；∠EFA=∠EFB-∠AFB=∠BAC-36°，∴∠FAD+∠EFA=180°，∴AF∥DE,∴四边形ADEF是平行四边形．（2）当∠BAC=126o时，∠DAF=90°，四边形ADEF是矩形．（3）当AB=AC时，四边形ADEF是菱形．（4）当∠BAC=126o且AB=AC时，四边形ADEF是正方形．（5）当∠BAC=36o时，点D、A、F在同一直线上，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．…………结论：以△ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正n边形：以A、及三个正n边形的一个顶点D、E、F为顶点的四边形ADEF是平行四边形；当∠BAC=时，四边形ADEF是矩形；当AB=AC时，四边形ADEF是菱形；当∠BAC=，且AB=AC时，四KLFGDHEIJBCA边形ADEF是正方形；当∠BAC=时，点D、A、F在同一直线上，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
