数值分析思考题典型例题VIP免费

数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。4、取，计算，不用计算而直接判断下列式子中哪种计算效果最好？为什么？（1），（2），（3），（4），（5）5.应用梯形公式计算积分的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取五位小数。计算中产生的误差的主要原因是截断误差还是舍入误差？为什么？6.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出他们有几位有效数字，并给出其绝对误差限与相对误差限。(1)；(2)；(3)。7.下列公式如何计算才比较准确？(1)，；(2)，；(3)，。8.序列满足递推关系，，若，计算到时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？数值分析思考题21、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：在有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足？若要求，需二分区间多少次？2、求解一个非线性方程的迭代法有哪些充分条件可以保障迭代序列收敛于方程的根？对方程，试构造两种不同的迭代法，且均收敛于方程在中的唯一根。3、设，应用牛顿法于方程，导出求立方根的计算公式，并确定常数和使得迭代法，局部收敛于，并使收敛阶尽量高。最高是几阶的方法？4、对于不动点方程，满足映内性和压缩性是存在不动点的充分条件，他们也是必要条件吗？试证明：（1）函数在闭区间上不是映内的，但在其上有不动点；（2）函数在任何区间上都是压缩的，但没有不动点。5、设是方程的根，且，在的某个邻域上连续。试证明：Newton迭代序列满足6.设有方程。对于迭代法，试证：对任何，迭代函数在闭区间[0.5,b]上满足映内性和压缩性。用所给方法求方程的根，使其有8位有效数字。数值分析思考题31、Gauss消去法和LU三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工作量为多少？平方根方法的工作量为多少？2、求解一个线性方程的LU分解法什么条件下可以保障成功？选主元的目的是什么？列主元和全主元Gauss消去法求解线性方程组各有什么优点？3、仅当系数矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失败吗？系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的吗？一个奇异的矩阵必没有LU分解吗？一个非奇异对称的矩阵不是正定就没有Cholesky分解吗？4、奇异矩阵的范数一定为零吗？范数为零的矩阵一定为零矩阵吗？矩阵1-范数和2-范数，通常哪个更容易计算？为什么？构造一个条件数为1的非单位矩阵的方阵。5、若是列严格对角占优的（对每一列：，满足：），证明有三角分解，且，。6、设，，，证明是上的一种向量范数。7、证明矩阵范数的性质：，。若对称时，，其中，为的特征值。8、已知线性方程组（1）求系数矩阵的逆和条件数；（2）若方程组右端有微小扰动，不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。9．用三角分解法求解方程组.10．用列主元消去法求解方程组.11．用Cholesky分解法求解方程组.数值分析思考题41、对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数？同样的结论对三次样条插值函数成立吗？样条插值函数具有较好的稳定性吗？2、数据量特别大时，你选择哪种方法？（1）Lagrange插值多项式，（2）三次Hermite插值函数，（3）三次样条插值函数，（4）最小二乘拟合。3、何为高次插值的Runge现象，应如何避免？4、分段低次插值有何优缺点？如何估计误差？5、已知函数的下列观测值：0．100．150．250．300．9048370.8607080.7788010.740818利用Lagrange或Newton插值方法计算的近似值。若另外测得一个新点：，试估计用上述方法计算的近似值的误差。6、证明关于互异节点的Lagrange插值基函数满足（1）；（2），；（3），；（4）7、插值与拟合的相同点和不同点分别是什么？8、写出n次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合的一般形式。9、超定（矛盾）线性方程组的最小二乘解有哪些情况？说明它与广义逆的关系。数值分析思考题51、简述一般插值型求积公式的积分原理。Newton-Cotes求积公式为什么没有Gauss型求积公式代数精...