§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示1．集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．例如：(1)方程 x2＋2x－3＝0 的所有实数根构成一个集合，其中每一个实数根都是这个集合的元素；(2)所有的正方形构成一个集合，其中每一个正方形都是这个集合的元素．集合的概念可以从以下几个方面来理解：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．2．集合中元素的特性(1)确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象．则 x 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素．两种情况必有一种且只有一种情况成立．如：大于 3 小于 11 的偶数分别为4,6,8,10，它们是确定的，可构成集合，而“我国的小河流”，由于“小”这个标准不确定，所以构不成集合．(2)互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说，“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”，如方程(x－1)2＝0 的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{ a，b，c}与{b，a，c}是同一集合．3．元素与集合的关系(1)当不涉及具体对象时，一般用大写的拉丁字母 A，B，C…表示集合；用小写的拉丁字母 a.，b，c…表示元素．(2)元素和集合是两个不同概念，符号∈和∉用来表示元素和集合的“属于”和“不属于”关系．4．集合的表示方法我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用集合语言，即通过约定的数学符号来表示集合，常用的有列举法和描述法．(1)列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．如元素 a1，a2，…，an构成集合，记为 a1，a2，…，an}．使用列举法必须注意：(1)元素间用“，”分隔；(2)集合中的元素必须满足三个特性；(3)对于含有有限个元素且个数较少的集合采取该方法较合适；若元素个数较多或无限个且构成集合的元素呈现一定的规律，在不会发生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．如不超过 100 的自然数的全体构成的集合可表示为{0,1,2,3，…，100}；正整数集可表示为 N＋＝{1,2,3，…}．(2)描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描...
