高考数学总复习 优编增分练：中档大题规范练（四）立体几何与空间向量 理科试题VIP免费

(四)立体几何与空间向量1．(2018·四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝.(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，3EM＝EC，求二面角M－BD－E的平面角的余弦值．(1)证明由AD＝1，CD＝2，AC＝，得AD2＋CD2＝AC2，∴△ADC为直角三角形，且AD⊥DC，同理△EDC为直角三角形，且ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形，∴AD⊥DE.又AB∥DC，∴DA⊥AB.在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于点H，故四边形ABHD是正方形．在△BCH中，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°，BC＝，∴∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°，∴BC⊥BD. ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC⊂平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC，又BD∩ED＝D，BD，ED⊂平面EBD，∴BC⊥平面EBD，又BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD.(2)解由(1)可得DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,2,0)．令M(0，y0，z0)，则EM＝(0，y0，z0－1)，EC＝(0,2，－1)， 3EM＝EC，∴(0,3y0,3z0－3)＝(0,2，－1)，∴点M的坐标为. BC⊥平面EBD，∴BC＝(－1,1,0)是平面EBD的一个法向量．设平面MBD的法向量为m＝(x，y，z)．DB＝(1,1,0)，DM＝，则即可得x＝－y＝z.令y＝－1，得m＝(1，－1,1)．∴cos〈m，BC〉＝＝＝－.由图形知二面角M－BD－E为锐角，∴二面角M－BD－E的平面角的余弦值为.2．(2018·安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC为正方形的四棱锥P－OABC，且PO⊥底面OABC，过OA的平面与侧面PBC的交线为DE，且满足S△PDE∶S△PBC＝1∶4.(1)证明：PA∥平面OBD；(2)当S＝3S时，求二面角B－OE－C的余弦值．(1)证明由题意知四边形OABC为正方形，∴OA∥BC，又BC⊂平面PBC，OA⊄平面PBC，∴OA∥平面PBC，又OA⊂平面OAED，平面OAED∩平面PBC＝DE，∴DE∥OA，又OA∥BC，∴DE∥BC.由△PDE∽△PCB，且S△PDE∶S△PBC＝1∶4，知E，D分别为PB，PC的中点．连接AC交OB于点F，则点F为AC的中点，连接DF. DF∥PA，DF⊂平面OBD，PA⊄平面OBD，∴PA∥平面OBD.(2)解 底面OABC为正方形，且PO⊥底面OABC，∴PO，OA，OC两两垂直，以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设OA＝OC＝2a，OP＝2b，则O(0,0,0)，C(0,2a,0)，B(2a,2a,0)，F(a，a,0)，P(0,0,2b)，E(a，a，b)． PO⊥平面OABC，CF⊂平面OABC，∴CF⊥PO. 四边形OABC为正方形，∴CF⊥OB，又PO∩OB＝O，PO，OB⊂平面POB，∴CF⊥平面POB，即CF⊥平面OBE，∴平面OBE的一个法向量为CF＝(a，－a,0)．设平面OEC的一个法向量为m＝(x，y，z)，而OC＝(0,2a,0)，OE＝(a，a，b)．由得取z＝－a可得，m＝(b,0，－a)为平面OCE的一个法向量．设二面角B－OE－C的大小为θ，由图易得θ为锐角，由S＝3S，得PO＝OA，∴＝.故cosθ＝＝＝，∴二面角B－OE－C的余弦值为.3．(2018·宁夏回族自治区银川一中模拟)如图，已知△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，且DE∥BC，BC⊥CD，点G为△ABC的重心，N为AB的中点，AG⊥平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点．(1)求证：GM∥平面DFN；(2)若二面角M－BC－D的余弦值为，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值．(1)证明在△ABC中，连接AG并延长交BC于点O，连接ON，OF.因为点G为△ABC的重心，所以＝，且O为BC的中点．又AM＝AF，所以＝＝，所以GM∥OF.因为点N为AB的中点，所以NO∥AC.又AC∥DF，所以NO∥DF，所以O，D，F，N四点共面，又OF⊂平面DFN，GM⊄平面DFN，所以GM∥平面DFN.(2)解由题意知，AG⊥平面BCDE，因为AG⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCDE，又BC⊥CD，平面ABC∩平面BCDE＝BC，CD⊂平面BCDE，所以CD⊥平面ABC.又四边形BCDE为直角梯形，BC＝2，DE＝1，所以OE∥CD，所以OE⊥平面ABC.因为AC∥DF，DE∥BC，AC∩BC＝C，DE∩DF＝D，AC，BC⊂平面ABC，DE，DF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF，又△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，故以O为坐标原点，OC，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－x...