2010高三数学高考专题复习系列导学案：不等式-不等式证明（二）

第 4 课 时 不 等 式 证 明 （ 二 ）证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例1. 已知f(x) ＝x2 ＋px＋q ，(1) 求证：f(1) ＋f(3) －2f(2)＝2 ；(2) 求证：｜f(1) ｜、｜f(2) ｜、｜f(3) ｜中至少有一个不小于． 证明: (1)f(1) ＋f(3) －2f(2)＝(1 ＋p ＋q) ＋(9 ＋3p＋q) －2(4 ＋2p＋q) ＝2(2)用反证法。假设｜f(1) ｜、｜f(2) ｜、｜f(3) ｜都小于，则｜f(1) ｜+2｜f(2) ｜+ ｜f(3) ｜＜2 ，而｜f(1) ｜+2｜f(2) ｜+ ｜f(3) ｜≥f(1) ＋f(3) －2f(2)＝2 ，出现矛盾.∴｜f(1) ｜、｜f(2) ｜、｜f(3) ｜中至少有一个不小于.变式训练1 ：设，那么三个数、、 （ ）A ．都不大于2B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2解:D例2. （1 ） 已知x2 ＋y2 ＝1 ，求证:.（2 ） 已知a 、b∈R，且a2 ＋b2≤1 ，求证:.证明:(1) 设∴ ( 其中)典型例题基础过关 ∴ (2)令( 其中k2≤1),则≤故原不等式成立.变式训练2 ： 设实数x ，y 满足x2 ＋(y －1)2＝1 ，当x ＋y ＋c≥0 时，c 的取值范围是（ ）A.B. C.D.解:A例3. 若，求证：证明：当时 即故原不等式成立．变式训练3 ：若f(n) ＝－n ，g(n) ＝n －，(n)＝，则f (n) ，g (n)，(n)的大小顺序为____________．解:g(n)>φ(n)>f(n)例4. 证明：．证明：设，则(1 －y)x2 ＋x ＋1 －y ＝0(1)当y≠1 时， x∈R，∴△＝1 －4(1 －y)2≥0得(2)当y ＝1 时，由(1 －y)x2 ＋x ＋1 －y ＝0 得x ＝0而x ＝0 是函数的定义域中的一个值；∴y ＝1 是它值域中的一个值.综合(1)和(2)可知，，即．变式训练4 ：设二次函数，若函数的图象与直线和均无公共点．(1) 求证：(2) ...