第三节：基本不等式学习目标：1.理解基本不等式ab 2ba 的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。2. 理解利用基本不等式ab 2ba 证明不等式的方法学习重点、难点：1. 应用数形结合的思想理解基本不等式2. 理解利用基本不等式ab 2ba 证明不等式的方法3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型学法指导：启发式教学法知识链接：问题 1：若 a、b∈R，则代数式 a2＋b2与 2ab 有何大小关系？提示： (a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.∴a2＋b2≥2ab.问题 2：上述结论中，“＝”号何时成立？提示：当且仅当 a＝b 时成立．问题 3：若以，分别代替问题 1 中的 a，b，可得出什么结论？提示：a＋b≥2.问题 4：问题 3 的结论中，“＝”何时成立？提示：当且仅当 a＝b 时成立．[导入新知]1．重要不等式当 a，b 是 任意实数时，有 a2＋b2≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．2．基本不等式1．有关概念：当 a，b 均为正数时，把叫做正数 a，b 的算术平均数，把叫做正数 a，b 的几何平均数．2．不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．(3)变形：ab≤2，a＋b≥2 (其中 a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，则 ≠，即只能有＜.2．从数列的角度看，a，b 的算术平均数是 a，b 的等差中项，几何平均数是 a，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与 b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．自主学习：利用基本不等式证明不等式[例 1] 已知 a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明] 由基本不等式可得：a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理：b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]1．已知 a，b 是正数，求证≤.证明： a＞0，b＞0，∴＋≥2＞0，∴≤＝，即≤(当 a＝b 时...
