【金版学案】2015-2016 学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例学案 新人教 A 版选修 1-1►基础梳理1. 优化问题．生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的基本思路．3．利用导数解决优化问题的一般步骤．(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系．(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系 y＝f(x)．(3)求解：求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0，并比较区间端点和使 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，得出函数的最值．(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案．►自测自评电动自行车的耗电量 y 与速度 x 有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为 40．1. 为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是(D) A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 V＝πr2h(V 是定值)，即 h＝，因此，所使用材料总面积为 S＝2πr2＋2πrh＝2，则 S′＝2，由 S′＝0，得 2πr3＝V，可以证明此时的 r 能使 S最小．进而得到 h＝2r.点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求．2．某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)当 x＞390 时，R(x)＝90 090，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(D)A．150 B．200C．250 D．300解析： 总利润 P(x)＝由 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D.3．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长 40 m，那么围成的场地面积最大为________．解析：设靠墙的一面长 x m，围成的场地面积为 y m2，此时矩形的宽为＞0.∴y＝x·＝－x2＋20x.(0＜x＜40)y′＝－x＋20，令 y′＝0 得 x＝20，当 0＜x＜20 时，y′＞0.1当 20＜x＜40 时，y′＜0.∴x＝20 时，y 最大＝20×10＝200.答案：200 m24．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为 8 m2.问 x、y 分别为多少时用料最省(精确到 0.001 m)?解析：由题意，得 xy＋x2＝8...
