第 5 课 时 绝 对 值 不 等 式 的 应 用1 、有关绝对值不等式的主要性质：① | x | ＝ ② | x |≥0③ | |a| －|b||≤|a±b|≤| a | ＋| b |④| ab | ＝ ，＝ (b≠0)特别：ab≥0，|a ＋b| ＝ ，|a －b| ＝ ． ab≤0 ，|a －b| ＝ ，|a ＋b| ＝ ．2 、最简绝对值不等式的解法．① | f(x) |≥a ；② | f(x) |≤a ；③ a≤| f(x) |≤b ．④ 对于类似a | f(x) |＋b| g(x) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．例1. 解不等式：| x2 －3x－4|> x＋1解 :{x ｜x<－1 或－1 ＜x ＜3 或x ＞5}变式训练1 ：若不等式|x －4| －|x －3|≤a 对一切实数x 都成立，则实 数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1 B．a ＜1 C ．a≤1 D ．a≥1解 :D例2. 设f(x) ＝x2 －x ＋b ，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a | ＋1). 解： ｜x －a ｜＜1∴｜f(x) －f(a) ｜＝｜(x2－x ＋b) －(a2－a ＋b) ｜＝｜x －a ｜｜x ＋a －1 ｜＜｜x ＋a －1 ｜＝｜(x －a) ＋2a－1 ｜≤ ｜x －a ｜＋｜2a｜＋1 ＝2( ｜ a ｜＋1)变式训练2 ：若a 、b∈R，α, β 是方程x2 ＋a x＋b ＝0 的两根，且|a| ＋| b | ＜1 ，求证：| α | ＜1 且| β | ＜1 ．解 : 由韦达定理和绝对值不等式的性质可证得例3. 已知f(x) ＝，g(x) ＝x ＋a(a>0) ，⑴ 当a ＝4 时，求的最小值；⑵ 若不等式>1对x∈[1, 4] 恒成立，求a 的取值范围．解 : (1)a＝4 时，最小值15；(2)，x∈[1 ，4] 恒成立．等价变形后，只要a(t＋) ＞2 ，t∈[1，2] 恒成立(t ＝)典型例题基础过关设h(t) ＝a(t＋) ，h' ＝(t) a(1 －)当0 ＜t ＜时，h'(t) ＜0 ，h(t) 单调递减；当t ＞时，h'(t) ＞0 ，h(t) 单调递增；当t ＝时，h'(t) ＝0 ，h() 为极小值；这样对于t∈[1，2] 有① ＞2 时，h(t)min ＝h(2) ＝a(2 ＋) ＞2 a ＞4② 1≤≤2时，h(t)min ＝h＝2a＞2∴ 1 ＜a≤4③ 0 ＜＜1 时，h(t)min ＝h(1) ＝a(a ＋1) ∴ 无解综上知：a ＞1变式训练3 ：已知适合不等式| x2 －4x＋p| ＋| x－3 |≤5的x 的最大值是3 ，求p 的值．解 :P ＝8例4. 设a 、b∈R，已知二次函数f(x) ＝ax2 ＋bx＋c ，g(x) ＝cx2 ＋bx＋a ，当｜x｜≤1 时，｜f(x) ｜≤２⑴ 求证：...
