空间的角一．知识回顾：1．异面直线所成角的定义： ．2．直线与平面所成角：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则 ．（2）直线与平面垂直，则 ．（3）直线是平面的斜线，则定义为 ．3．最小角定理： ．4．二面角的概念： ．5．二面角的平面角： ．6．求二面角平面角大小的一般方法： ．二． 基础训练：1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是（ ） 2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是 （ ） 3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： ，这个命题的真假性是 ．4．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异 面 直 线所 成 的 角 为， 则 二 面 角的 大 小 为 ．三．例题分析：例 1. 如 图 ， 已 知 四 棱 锥的 底 面 是 直 角 梯 形 ，，，侧面底面．（1）与是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角的大小；（3）求证：平面⊥平面．解：（1）与相互垂直.证明如下： 取的中点，连结，交于点；连结． ，∴．又 平面⊥平面， 平面∩平面，∴⊥平面． 在梯形中，可得， ∴， 即， ∴ ． （2）连结， 由⊥平面，，可得， ∴为二面角的平面角，设，则在中， ∴二面角为 ．（3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，则同“（1）”可得平面．取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形. ∴，∴⊥平面．∴平面⊥平面．解答二：取的中点，由侧面⊥底面，是等边三角形，得⊥底面．以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则在直角梯形中，，在等边三角形中，．∴（1）与相互垂直.证明如下： ∴．（2）连结，设与相交于点；连结．由得．又 为在平面内的射影，∴，为二面角的平面角．在中，．在中，．∴二面角为．（3）取的中点，连结，则的坐标为．又，，∴．∴∴⊥平面． ∴平面⊥平面．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．例 2.在的二面角中，，已知、到 的距离分别是和，且，、在 的射影分别为、，求：（1）的长度；（2）和棱 所成的角．·B1PACDA1C1D1BOH·例 3.棱长为 4 的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．例...
