9.11 多面体与正多面体●知识梳理1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有 5 种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.●点击双基1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是答案：B2.正多面体只有_____________种，分别为________________.答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M、N 分别是 A1B1、BB1的中点，则直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值是_____________.解析：过 N 作 NP∥AM 交 AB 于点 P，连结 C1P，解三角形即可.答案： ●典例剖析【例 1】 已知甲烷 CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有 4 个氢原子（这 4 个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围 4 个氢原子连成的四条线段两两组成的角为 θ，则 cosθ 等于A.－ B. C.－ D. 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得cosθ==－（设正方体的棱长为 2）.答案：A【例 2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.解：如图，设正八面体的棱长为 4a，以中心 O 为原点，对角线 DB、AC、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设 E为 BC 的中点，连结 PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO 即为所求二面角的平面角， OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设 n=（x，y，z）是 AB 与 PC 的公垂线的一个方向向量，则有 n·=x+y=0，n·=y－z=0，解得1n=（－1，1，1），所以向量=（－2a，2a，0）在 n 上的射影长 d==即为所求.特别提示由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.【例 3】 三个 12×12 cm 的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成 A、B 两片〔如图（1）〕，把 6 片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=V 正方体=×123=864 cm3.甲 乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V 大三棱锥－3V 小三棱锥=864 cm3. 思考讨论补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.●闯关训练夯实基础1.每...
