11 多面体与正多面体●知识梳理1
每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体
正多面体有且只有 5 种
分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
●点击双基1
一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是答案：B2
正多面体只有_____________种，分别为________________
答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3
在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M、N 分别是 A1B1、BB1的中点，则直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值是_____________
解析：过 N 作 NP∥AM 交 AB 于点 P，连结 C1P，解三角形即可
答案： ●典例剖析【例 1】 已知甲烷 CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有 4 个氢原子（这 4 个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）
设中心碳原子到外围 4 个氢原子连成的四条线段两两组成的角为 θ，则 cosθ 等于A
解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得cosθ==－（设正方体的棱长为 2）
答案：A【例 2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离
解：如图，设正八面体的棱长为 4a，以中心 O 为原点，对角线 DB、AC、QP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设 E为 BC 的中点，连结 PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO 即为所求二面角的平面角， OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan
设 n=（x，y，z）是 AB 与 PC 的公垂线的一个方向向量，则有 n·=x+y=0，n·=y－z=0，解得1n=（－1，1，1），所以向
