3.4 基本不等式（1）【教学目标】1 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景：探究：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。 系）提问 2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问 3：那 4 个直角三角形的面积和呢？生答：提问 4：好，根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形 EFGH 变成一个点，这时有结论：（板书）一般地，对于任意实数 、 ，我们有，当且仅当时，等号成立。提问 5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明: 用心 爱心 专心1所以 注意强调 当且仅当时, (2)特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导(板书,请学生上台板演):要证: ①即证 ②要证②,只要证 ③要证③,只要证 ( - ) ④显然, ④ 是成立的,当且仅当时, ④ 的等号成立(3)观察图形 3.4-3,得到不等式①的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数探究：课本中的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒ t△A Ｃ D∽Ｒ t△D Ｃ B，那么Ｃ D2＝Ｃ A·Ｃ B即Ｃ D＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD，即，其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 a＝b 时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数 a、b 的等差中项，看作是正数 a、b 的等比中项，那么...
