2013 年高中数学 1.7 2 定积分的概念教案 新人教 A 版选修 2-2一、定积分的实际背景1. 曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： 曲边梯形面积的确定步骤：(1)分割 任取分点,把底边[a,b]分成 n 个小区间[, ](. 小区间长度记为 (2) 取近似 在每个小区间[]上任取一点 竖起高线yOMPQNBxCAA0x1x2xxn Oxy y = f (x)1推广为,则得小长条面积的近似值为 (); (3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积 A 的近似值;(4)取极限 令小区间长度的最大值 趋于零,则和式 的极限就是曲边梯形面积 A 的精确值，即2．变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔[]上的连续函数，且≥0，要计算这段时间内所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似：(1)分割 任取分点，把[]分成 个小段，每小段长为 （）; (2)取近似 把每小段[ ]上的运动视为匀速，任取时刻，作乘积，显然这小段时间所走路程 可近似表示为 （）;(3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总路程 s 的近似值，即 ;(4) 取 极 限 当 时 ， 上 述 总 和 的 极 限 就 是的 精 确 值 ， 即.二、定积分的概念 定义 设函数在上有定义，任取分点,分为 n 个小区间.记 , 再在每个小区间上任取一点 ，作乘积 的和式：如果时,上述极限存在（即，这个极限值与 的分割及点的取法均无关），则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为2其中称为被积函数,为被积式， 为积分变量，为积分区间，分别称为积分下限和上限.定积分定义的说明：(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如： .一般地，. (2)定义中要求积分限 ，我们补充如下规定：当 时，,当 时， .(3)定积分的存在性：当 在 上连续或只有有限个第一类间断点时, 在上的定积分存在（也称可积）.三、定积分的几何意义如 果 ， 则, 此 时表 示 由 曲 线，,xa xb ...
