2013届高中数学竞赛教案讲义（2）二次函数与命题

第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=-，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-，下同。2 二次函数的性质：当 a>0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a<0 时，情况相反。 3．当 a>0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0…① 和不等式 ax2+bx+c>0…② 及 ax2+bx+c<0…③ 与函数 f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。1）当△>0 时，方程①有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2}和{x|x10，当 x=x0时，f(x)取最小值 f(x0)=,若 a<0，则当 x=x0=时，f(x)取最大值 f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当 x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题1只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 ...