2013届高中数学竞赛教案讲义（6）三角函数

第六章 三角函数一、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中 r是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 α 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα=,余弦函数 cosα=,正切函数 tanα=，余切函数 cotα=，正割函数 secα=,余割函数 cscα=定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.定理 2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时, y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里 k∈Z.定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=kπ 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2kπ-π 时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里 k∈Z.定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(x kπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为 π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。定理 6 两角...