13.2 直接证明与间接证明考情分析1.在历年的高考中,证明方法是常考内容,考查 的主要方式是对它们原理的理解和用法.难度多为中档题,也有高档题.2.从考查形式上看,主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体,考查综合法、分析法、反证法等方法.基础知识1.直接证明(1)综合法① 定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.② 框图表示:→→→…→(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论).(2)分析法① 定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做分析法.② 框图表示:→→→…→.2.间接证明一般地,由证明 p⇒q 转向证明:綈 q⇒r ⇒…⇒t.t 与假设矛盾,或与某个真命题矛 盾.从而判定綈 q 为假,推出 q 为真的方法,叫做反证法.注意事项1.综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻 求结论与条件、基础知识之 间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用.2. (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.(2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论 P,再说明所要证明的数学问题成立.题型一 综合法的应用【例 1】►设 a,b,c>0,证明:++≥a+b+c.证明 a,b,c>0,根据均值不等式,有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.三式相加:+++a+b+c≥2(a+b+c).当且仅当 a=b=c 时取等号.即++≥a+b+c.【变式 1】 设 a,b 为互不相等的正数,且 a+b=1,证明:+>4.证明 +=·(a+b)=2++≥2+2=4.又 a 与 b 不相等.故+>4.题型二 分析法的应用【例 2】►已知 m>0,a,b∈R,求证:2≤.证明 m>0,∴1+m>0.所以要证原不等式成立,只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),即证 m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0 显然成立,故原不等式得证.【变式 2】 已知 a,b,m 都是正数,且 a<b.求证:>.证明 要证明>,由于 a...