2014年高中数学 第一章 统计 最小二乘估计第一课时教案 北师大版必修3VIP专享

最小二乘估计教学目标：1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点：最小二乘法的思想教学难点：线性回归方程系数公式的应用教学过程回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。问题 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。最小二乘法就是基于这种想法。问题 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？设直线方程为 y=a+bx，样本点 A（xi，yi）方法一、点到直线的距离公式 方法二、显然方法二能有效地表示点 A 与直线 y=a+bx 的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有 5 个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx 的接近程度： 从而我们可以推广到 n 个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线 y=a+bx 的接近程度：使得上式达到最小值的直线 y=a+bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法y0ii y,xiibxa,xbxayx问题 4、怎样使达到最小值？先来讨论 3 个样本点的情况设有 3 个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线 y=a+bx 与这 3 个点的接近程度由下面表达式刻画：…………………①整理成为关于 a 的一元二次函数，如下所示： 利用配方法可得从而当时，使得函数达到最小值。将代入①式，整理成为关于 b 的一元二次函数， 同样使用配方法可以得到，当时，使得函数达到最小值。从而得到直线 y=a+bx 的系数 a，b，且称直线 y=a+bx 为这 3 个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出 n 个点的线性回归方程的系数：其中由我们知道线性回归直线 y=a+bx 一定过。例题与练习例 1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部 6 天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表气温（xi）／oC 261813104-1杯数（yi）／杯 202434385064(1)试用最小二乘法求出线性回归方程。(2)如果某天的气温是－3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。解：（1）先画出其散点图ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442706050403020102040气温杯数410381003805450162006－1641－64合计...