最小二乘估计教学目标:1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点:最小二乘法的思想教学难点:线性回归方程系数公式的应用教学过程回顾:上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系,用了很多种方法来刻画这种线性关系,但是这些方法都缺少数学思想依据。问题 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些?想法:保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。最小二乘法就是基于这种想法。问题 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效?设直线方程为 y=a+bx,样本点 A(xi,yi)方法一、点到直线的距离公式 方法二、显然方法二能有效地表示点 A 与直线 y=a+bx 的距离,而且比方法一更方便计算,所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?例如有 5 个样本点,其坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5)与直线y=a+bx 的接近程度: 从而我们可以推广到 n 个样本点:(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)与直线 y=a+bx 的接近程度:使得上式达到最小值的直线 y=a+bx 就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法y0ii y,xiibxa,xbxayx问题 4、怎样使达到最小值?先来讨论 3 个样本点的情况设有 3 个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则由最小二乘法可知直线 y=a+bx 与这 3 个点的接近程度由下面表达式刻画:…………………①整理成为关于 a 的一元二次函数,如下所示: 利用配方法可得从而当时,使得函数达到最小值。将代入①式,整理成为关于 b 的一元二次函数, 同样使用配方法可以得到,当时,使得函数达到最小值。从而得到直线 y=a+bx 的系数 a,b,且称直线 y=a+bx 为这 3 个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出 n 个点的线性回归方程的系数:其中由我们知道线性回归直线 y=a+bx 一定过。例题与练习例 1 在上一节练习中,从散点图可以看出,某小卖部 6 天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数据如下表气温(xi)/oC 261813104-1杯数(yi)/杯 202434385064(1)试用最小二乘法求出线性回归方程。(2)如果某天的气温是-3 oC,请预测可能会卖出热茶多少杯。解:(1)先画出其散点图ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442706050403020102040气温杯数410381003805450162006-1641-64合计...