11.3 算法案例典例精析题型一 求最大公约数【例 1】(1)用辗转相除法求 840 与 1 764 的最大公约数；(2)用更相减损术求 440 与 556 的最大公约数.【解析】(1)用辗转相除法求 840 与 1 764 的最大公约数：1 764＝840×2＋84，840＝84×10＋0.所以 840 与 1 764 的最大公约数是 84.(2)用更相减损术求 440 与 556 的最大公约数：556－440＝116，440－116＝324，324－116＝208，208－116＝92， 116－92＝24， 92－24＝68， 68－24＝44， 44－24＝20， 24－20＝4， 20－4＝16， 16－4＝12， 12－4＝8， 8－4＝4.所以 440 与 556 的最大公约数是 4.【点拨】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结束运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.【变式训练 1】求 147,343,133 的最大公约数.【解析】先求 147 与 343 的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49， 147－49＝98， 98－49＝49，所以 147 与 343 的最大公约数为 49.再求 49 与 133 的最大公约数.133－49＝84， 84－49＝35， 49－35＝14，1 35－14＝21， 21－14＝7， 14－7＝7.所以 147,343,133 的最大公约数为 7.题型二 秦九韶算法的应用【例 2】用秦九韶算法写出求多项式 f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.016 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在 x＝－0.2 时的值的过程.【解析】先把函数整理成 f(x)＝((((0.008 33x＋0.041 67)x＋0.166 67)x＋0.5)x＋1)x＋1，按照从内向外的顺序依次进行.x＝－0.2，a5＝0.008 33， v0＝a5＝0.008 33；a4＝0.041 67， v1＝v0x＋a4＝0.04；a3＝0.016 67， v2＝v1x＋a3＝0.008 67；a2＝0.5， v3＝v2x＋a2＝0.498 27；a1＝1， v4＝v3x＋a1＝0.900 35；a0＝1， v5＝v4x＋a0＝0.819 93；所以 f(－0.2)＝0.819 93.【点拨】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值；(2)减少运算次数，提高效率；(3)步骤重复实施，能用计算机操作.【变式训练 2】用秦九...
