12.6 几何概型典例精析题型一 长度问题【例 1】如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段 OB 上任取一点 C，试求：(1)△AOC 为钝角三角形的概率；(2)△AOC 为锐角三角形的概率.【解析】如图，由平面几何知识知：当 AD⊥OB 时，OD＝1；当 OA⊥AE 时，OE＝4，BE＝1.(1)当且仅当点 C 在线段OD 或 BE 上时，△AOC 为钝角三角形.记“△AOC 为钝角三角形”为事件 M，则 P(M)＝＝＝0.4，即△AOC 为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点 C 在线段 DE 上时，△AOC 为锐角三角形.记“△AOC 为锐角三角”为事件 N，则 P(N)＝＝＝0.6，即△AOC 为锐角三角形的概率为 0.6.【点拨】我们把每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件发生则理解为恰好在上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解.【变式训练 1】点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 .【解析】如图可设＝1，则根据几何概率可知其整体事件是其周长 3，则其概率是.题型二 面积问题【例 2】 两个 CB 对讲机(CB 即 CitizenBand 民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为 25 公里，在下午 3：00 时莉莉正在基地正东距基地 30 公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午 3：00 时正在基地正北距基地 40 公里以内的某地向基地行驶，试问在下午 3：00 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？【解析】设 x 和 y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是 0≤x≤30,0≤y≤40.他们所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里 x，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过 25 公里时发生(如下图)，因此构成该事件的点由满足不等式≤25 的数对组成，此不等式等价于 x2＋y2≤625，右图中的方形区域代表基本事件1组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为 1 200 平方公里，而事件的面积为()×π×(25)2＝，于是有 P＝＝≈0.41.【点拨】解决此类问题，应先根据题意确定该实验为几何概型，然后求出事件 A 和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率公式求出.【变...
