12.11 正态分布典例精析题型一 研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值【例 1】 某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间[－4，－2]的概率.【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知 μ＝0，由最大值为知 σ＝2，所以 P(－2≤x≤2)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.682 6，P(－4≤x≤4)＝P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以 P(－4≤x≤－2)＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.【点拨】应当熟记：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4；P(μ－3σ ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4.【变式训练 1】设 X~N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5).【解析】因为 X～N(1,22)，所以 μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)因为 P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以 P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝(1－0.954 4)＝0.022 8.题型二 利用正态总体密度函数估计某区间的概率【例 2】 已知某地区数学考试的成绩 X~N(60,82)(单位：分)，此次考生共有 1 万人，估计在 60分到 68 分之间约有多少人？【解析】由题意 μ＝60，σ＝8，因为 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，所以 P(52＜X≤68)＝0.682 6，又此正态曲线关于 x＝60 对称，所以 P(60＜X≤68)＝P(52＜X≤68)＝0.341 3，从而估计在 60 分到 68 分之间约有 341 3 人. 【点拨】本题是教材变式题，将原题中单纯(μ－σ，μ＋σ)的概率考查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区间进行探讨.【变式训练 2】某人乘车从 A 地到 B 地，所需时间(分钟)服从正态分布 N(30,100)，求此人在40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率.【解析】由 μ＝30，σ＝10，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6 知此人在 20 分钟至 40 分钟到达目的地的概率为 0.682 6，又由于 P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在 10 分钟至 20 分钟或 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为 0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于直线 x＝30 对称得此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为 0.135 9.总结提高1.服从正态分布的随机变量 X 的概率特点1若随机变量 X 服从正态分布，则 X 在一点上的取值概率为 0，即 P(X＝a)＝0，而{X...
