§3．1.2 空间向量的数乘运算知识点一 空间向量的运算 已知 ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.(1)化简 (2) 设 M 是 底 面 ABCD 的 中 心 ,N 是 侧 面 BCC′B′ 对 角 线 BC′ 上 的分 点 , 设,试求 α,β,γ 的值. 解 (1)方法一 取 AA′的中点为 E,则又取 F 为 D′C′的一个三等分点(D′F=D′C′),则 D′F =∴ + + =+ + =方法二 取 AB 的三等分点 P 使得,取 CC′的中点 Q,则 + +=(2) = = = ∴α＝，β＝，γ＝.【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法． 如图所示,平行六面体 A1B1C1D1- ABCD，M 分成的比为，N 分A1D成的比为，N 分A1D成的比为 2，设 ＝ a，AD＝b，AA1＝c，试用 a、b、c 表示， 解 = ＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c知识点二 共线问题 设空间四点 O，A，B，P 满足其中 m+n=1，则（ ）A．点 P 一定在直线 AB 上B．点 P 一定不在直线 AB 上C．点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上D. 与AP与AP的方向一定相同答案 A解析 已知 m+n=1，则 因为≠ 0 .所以和共线，即点 A，P，B 共线，故选A.【反思感悟】（1）考察点 P 是否在直线 AB 上，只需考察与是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件 m+n=1 把证明三点共线问题转化为证明与是否共线. 已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，求 α+β 的值.解 A、B、P 三点共线，由共线向量知， 存在实数 t，使 = t由= ，= 代入得：；又由已知，∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.知识点三 共面问题 已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点．(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD∥平面 EFGH.证明 (1)由已知得 EF 綊 HG， ∴ , 不共线，∴ 共面且有公共点 G，∴E，F，G，H 四点共面. （2） 与不共线，∴BD，EG，GH共面．由于 BD 不在平面 EFGH 内，所以 BD∥平面 EFGH.【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． 用向量法证明：空间四边形 ABCD 的四边中点...
